Ableitungsvorzeichen: steigend oder fallend
Prüfen Sie, ob ein Polynom an einer Stelle steigt oder fällt: Für 3x³ − 2x² + 5x − 7 an der Stelle 2 hat die Ableitung den Wert 33, die Funktion ist also steigend. Null wird als stationär gemeldet. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Koeffizienten
- 3, -2, 5, -7
- Punkt
- 2
- Wert der Ableitung
- 33
- Vorzeichen
- positive
- Verhalten
- increasing
- Grad
- 3
Dieser Rechner bestimmt die erste Ableitung eines Polynoms an der von Ihnen gewählten x-Stelle und meldet, ob der Wert positiv, negativ oder null ist. Das Vorzeichen beschreibt die lokale Richtung: Eine positive Ableitung bedeutet Wachstum, eine negative Ableitung Abnahme und eine Ableitung von null kennzeichnet eine stationäre Stelle, die weiter untersucht werden sollte. Geben Sie die Koeffizienten nach fallendem Grad ein, setzen Sie Nullen für fehlende Potenzen ein und erhalten Sie ein deterministisches Ergebnis für Übungen, Kontrollen oder automatisierte Berechnungen.
Geben Sie das Polynom eindeutig ein
Stellen Sie das Polynom durch seine Koeffizienten dar, geordnet von der höchsten Potenz bis zum konstanten Glied. Das Array [3, -2, 5, -7] steht beispielsweise für 3x³ - 2x² + 5x - 7. Jede Potenz benötigt eine Position; x⁴ + 2x - 1 muss daher als [1, 0, 0, 2, -1] eingegeben werden.
Die Nullen bewahren den Grad aller folgenden Koeffizienten. Geben Sie mindestens zwei Koeffizienten an, auch wenn der erste null ist, und verwenden Sie ausschließlich endliche Zahlen. Danach tragen Sie die endliche numerische Stelle ein, an der die Ableitung geprüft werden soll.
Diese ausdrückliche Darstellung vermeidet Unklarheiten frei geschriebener Formeln: Implizite Multiplikation, die Schreibweise von Exponenten und die Reichweite eines Minuszeichens müssen nicht interpretiert werden. Der Rechner gibt außerdem den aus dem Array abgeleiteten Grad zurück, damit Sie Ihre Eingabe vor der Verwendung des Ergebnisses prüfen können.
So wird der Ableitungswert berechnet
Für das Polynom aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ lautet die erste Ableitung naₙxⁿ⁻¹ + (n-1)aₙ₋₁xⁿ⁻² + ... + a₁. Dabei wird die Liste in einem einzigen begrenzten Durchlauf verarbeitet; große Potenzen von x müssen nicht einzeln berechnet werden. Das Verfahren ist effizient und deterministisch.
Der Wert beträgt somit 36 - 8 + 5 = 33, das Vorzeichen ist positiv und das Verhalten steigend.
Positive, negative und null Werte richtig deuten
Das Vorzeichen der Ableitung beschreibt die momentane Richtung des Polynoms an der gewählten Stelle. Ein positiver Wert bedeutet, dass der Graph dort ansteigt; das gemeldete Verhalten lautet daher steigend. Ein negativer Wert bedeutet, dass der Graph fällt, und wird als fallend bezeichnet.
Bei einer exakten null lautet das Ergebnis stationär, denn die erste Ableitung allein bestimmt die Art der stationären Stelle nicht. Es kann sich um ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder einen stationären Wendepunkt handeln. Zur Einordnung benötigen Sie benachbarte Vorzeichen oder einen Test mit höheren Ableitungen.
Der Rechner bezeichnet daher nicht jede Nullstelle der Ableitung automatisch als Extremstelle. Beachten Sie bei Dezimalzahlen außerdem die Genauigkeit: JavaScript verwendet Gleitkommaarithmetik, sodass ein theoretisch null ergebender Ausdruck einen winzigen positiven oder negativen Wert liefern kann. Das Werkzeug meldet das berechnete Vorzeichen ohne verborgene Toleranz.
Nutzen Sie für symbolische Gewissheit exakte Algebra; legen Sie für numerische Aufgaben eine geeignete Toleranz fest und dokumentieren Sie diese.
Anwendungsfälle
Eine Analysisaufgabe kontrollieren
Prüfen Sie eine von Hand berechnete Polynomsteigung an einer bestimmten Stelle und vergleichen Sie sofort die Richtungsangabe.
Monotonie an Stichproben untersuchen
Werten Sie ausgewählte Stellen aus, um lokales Steigen, Fallen oder stationäres Verhalten zu erkennen.
Häufige Fragen
In welcher Reihenfolge gebe ich die Koeffizienten ein?
Listen Sie sie vom Koeffizienten der höchsten Potenz bis zum konstanten Glied auf und setzen Sie für jede fehlende Potenz eine Null ein.
Was bedeutet eine positive Ableitung?
Das Polynom ist an der gewünschten Stelle steigend.
Bedeutet eine Ableitung von null immer Maximum oder Minimum?
Nein. Sie kennzeichnet eine stationäre Stelle, die auch ein stationärer Wendepunkt sein kann. Prüfen Sie benachbarte Vorzeichen oder höhere Ableitungen.
Wie werden Rundungseffekte bei Dezimalzahlen behandelt?
Das Ergebnis nutzt übliche Gleitkommaarithmetik und meldet das berechnete Vorzeichen ohne eine unausgesprochene Toleranz.
Ist 3x³ − 2x² + 5x − 7 an der Stelle 2 steigend?
Ja. Die Ableitung lautet 9x² − 4x + 5 und ergibt für x gleich 2 den Wert 36 − 8 + 5 = 33. Da der Wert positiv ist, steigt die Funktion an dieser Stelle. Geben Sie die Koeffizienten 3, −2, 5 und −7 sowie die Stelle 2 ein.
Bedeutet eine Ableitung von null immer ein Maximum oder Minimum?
Nein. Null heißt nur, dass die Stelle stationär ist. Es kann ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder ein Sattelpunkt sein; die erste Ableitung allein entscheidet das nicht.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/derivative-sign-at-point \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[3,-2,5,-7],"point":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/derivative-sign-at-point", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
3,
-2,
5,
-7
],
"point": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/derivative-sign-at-point",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
3,
-2,
5,
-7
],
"point": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/derivative-sign-at-point", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[3,-2,5,-7],"point":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[3,-2,5,-7],"point":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/derivative-sign-at-point", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"coefficients": [
3,
-2,
5,
-7
],
"point": 2
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.derivative_sign_at_point",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_coefficients | 1001 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Geben Sie das Polynom eindeutig ein
Die Eingabelänge ist begrenzt, sodass die Ausführung im Browser und über die API vorhersehbar bleibt.
So wird der Ableitungswert berechnet
Der Rechner bildet diese Ableitungskoeffizienten gedanklich und wertet sie mit dem Horner-Schema an der gewünschten Stelle aus. Für f(x) = 3x³ - 2x² + 5x - 7 bei x = 2 ist die Ableitung 9x² - 4x + 5. Überschreitet die Rechnung den endlichen Zahlenbereich, wird die Anfrage abgelehnt, anstatt Infinity zurückzugeben, denn ein unendlicher JSON-Wert wäre kein verlässliches Rechenergebnis.
Integrationsbeispiele
Eine Prüfung in Software einbauen
Verwenden Sie das deterministische API-Ergebnis in Lernprogrammen, Optimierungsprüfungen oder Polynomanalysen.
Technische Fragen
Was kostet eine API-Anfrage?
Jede API-Anfrage kostet $0.002; der Rechner kann auch im Browser ausgeführt werden.