Equazioni di Lotka-Volterra

Le equazioni di Lotka–Volterra sono la coppia classica di equazioni differenziali ordinarie che descrive come una popolazione di prede e una di predatori cambiano insieme nel tempo. Le prede crescono in assenza di predatori e diminuiscono in proporzione agli incontri; i predatori muoiono di fame senza prede e crescono grazie a quegli stessi incontri. Studenti, ecologi, analisti della pesca e modellisti hanno bisogno di una serie temporale deterministica a partire dai conteggi iniziali e dai quattro coefficienti di tasso, non di una cattura di un grafico che non si può rivedere. Questo calcolatore integra dx/dt = αx − βxy e dy/dt = δxy − γy con un metodo di Runge–Kutta del quarto ordine a passo fisso e restituisce la traiettoria, i picchi, i minimi e l'equilibrio interno quando esiste.

Cosa dicono le equazioni di Lotka–Volterra su predatore e preda

Alfred Lotka e Vito Volterra scrissero in modo indipendente lo stesso modello a due specie negli anni Venti: uno stock di prede x che crescerebbe in modo esponenziale da solo, e uno stock di predatori y che decrescerebbe in modo esponenziale senza cibo. Gli incontri si scrivono come il prodotto x per y. Le prede seguono quindi dx/dt uguale a αx meno βxy, dove α è il tasso di crescita intrinseco della preda e β è il coefficiente di predazione.

I predatori seguono dy/dt uguale a δxy meno γy, dove δ è la conversione della preda mangiata in crescita del predatore e γ è il tasso di morte o di fame. Quei quattro coefficienti più le due popolazioni iniziali determinano del tutto il campo vettoriale nel primo quadrante.

Quando α, β, γ e δ sono tutti positivi, il sistema ha un equilibrio interno in x-stella uguale a γ su δ e y-stella uguale a α su β; le orbite intorno a quel punto sono chiuse nel modello continuo esatto, ed è per questo che i grafici da manuale mostrano i celebri cicli sfasati: le prede salgono, i predatori le seguono, le prede crollano, i predatori crollano e il ciclo si ripete.

Il modello non è un ecosistema completo: ignora la capacità portante, la struttura per età, il rifugio e l'estinzione stocastica. È lo strumento di primo ordine per insegnare e pianificare crescita e predazione accoppiate. Le unità restano le Sue: se x e y sono animali per chilometro quadrato e il tempo è in anni, i tassi sono in anni reciproci e la serie restituita usa le stesse unità.

Popolazioni e tassi nulli sono ammessi e producono traiettorie degeneri ma ben definite, come la crescita esponenziale della preda quando i predatori partono da zero. Conteggi o tassi negativi non sono biologici in questo contratto e vengono rifiutati invece di essere silenziosamente tagliati al bordo di ingresso.

Chi usa simulazioni preda-predatore

I corsi di ecologia delle scuole superiori e dell'università chiedono spesso agli studenti di abbozzare i cicli di Lotka–Volterra a partire da una tabella di x(t) e y(t). Un oracolo RK4 deterministico consente di verificare che le prede raggiungano il picco prima dei predatori, che l'orbita discreta resti vicina all'equilibrio previsto e che un tasso negativo sia illegale invece di un NaN silenzioso in un foglio di calcolo.

I pianificatori della pesca e della fauna a volte necessitano di una previsione accoppiata di primo ordine: dati i conteggi attuali e i tassi di crescita e predazione assunti, come si muovono i due stock su un orizzonte di T unità di tempo? Il tetto di passi mantiene economico l'isolate e risolve comunque alcuni cicli. Il lavoro di sensitività sono poche chiamate in più: tenga fisse le condizioni iniziali e vari α o β per vedere se il picco del predatore cresce o crolla.

Mantenga gli otto parametri non negativi e finiti, scelga uno steps abbastanza grande da risolvere l'orbita che Le interessa (da dieci a quaranta è tipico per un grafico di compito; duecento è il tetto rigido) e tratti la serie come traiettoria numerica delle equazioni classiche, non come un censimento di campo adattato, un modello di estinzione stocastica o una curva logistica solo di prede.