Equações de Lotka-Volterra

As equações de Lotka–Volterra são o par clássico de equações diferenciais ordinárias que descreve como uma população de presas e uma de predadores mudam juntas ao longo do tempo. As presas crescem na ausência de predadores e diminuem na proporção dos encontros; os predadores morrem de fome sem presas e crescem graças a esses mesmos encontros. Estudantes, ecólogos, analistas pesqueiros e modeladores precisam de uma série temporal determinística a partir das contagens iniciais e dos quatro coeficientes de taxa, não de uma captura de gráfico que não dá para reproduzir. Esta calculadora integra dx/dt = αx − βxy e dy/dt = δxy − γy com um método de Runge–Kutta de quarta ordem e passo fixo e devolve a trajetória, os picos, os vales e o equilíbrio interior quando ele existe.

O que as equações de Lotka–Volterra dizem sobre predador e presa

Alfred Lotka e Vito Volterra escreveram de forma independente o mesmo modelo de duas espécies na década de 1920: um estoque de presas x que cresceria de modo exponencial sozinho, e um estoque de predadores y que decairia de modo exponencial sem alimento. Os encontros são escritos como o produto x vezes y. As presas seguem portanto dx/dt igual a αx menos βxy, em que α é a taxa intrínseca de crescimento da presa e β é o coeficiente de predação.

Os predadores seguem dy/dt igual a δxy menos γy, em que δ é a conversão de presa comida em crescimento do predador e γ é a taxa de morte ou inanição. Esses quatro coeficientes mais as duas populações iniciais determinam por completo o campo vetorial no primeiro quadrante.

Quando α, β, γ e δ são todos positivos, o sistema tem um equilíbrio interior em x-estrela igual a γ sobre δ e y-estrela igual a α sobre β; as órbitas em torno desse ponto são fechadas no modelo contínuo exato, e por isso os gráficos de livro mostram os famosos ciclos defasados: as presas sobem, os predadores as seguem, as presas despencam, os predadores despencam e o laço se repete. O modelo não é um ecossistema completo: ignora capacidade de suporte, estrutura etária, refúgio e extinção estocástica.

É a ferramenta de primeira ordem para ensinar e planejar crescimento e predação acoplados. As unidades são as suas: se x e y são animais por quilômetro quadrado e o tempo está em anos, as taxas vão em anos recíprocos e a série devolvida usa as mesmas unidades. Populações e taxas nulas são permitidas e produzem trajetórias degeneradas, porém bem definidas, como o crescimento exponencial da presa quando os predadores começam em zero.

Contagens ou taxas negativas não são biológicas neste contrato e são rejeitadas em vez de recortadas em silêncio na borda de entrada.

Quem usa simulações predador-presa

Cursos de ecologia do ensino médio e da universidade pedem com frequência que os alunos esbocem ciclos de Lotka–Volterra a partir de uma tabela de x(t) e y(t). Um oráculo RK4 determinístico permite conferir que as presas atingem o pico antes dos predadores, que a órbita discreta permanece perto do equilíbrio previsto e que uma taxa negativa é ilegal em vez de um NaN silencioso em uma planilha.

Planejadores pesqueiros e de fauna às vezes precisam de uma previsão acoplada de primeira ordem: dadas as contagens atuais e as taxas de crescimento e predação assumidas, como os dois estoques se movem em um horizonte de T unidades de tempo? O teto de passos mantém o isolate barato e ainda resolve alguns ciclos. O trabalho de sensibilidade são algumas chamadas a mais: fixe as condições iniciais e varie α ou β para ver se o pico do predador cresce ou desaba.

Mantenha os oito parâmetros não negativos e finitos, escolha um steps grande o bastante para resolver a órbita que interessa a você (dez a quarenta é típico em um gráfico de tarefa; duzentos é o teto rígido) e trate a série como trajetória numérica das equações clássicas — não como censo de campo ajustado, modelo de extinção estocástica ou curva logística só de presas.