Ecuaciones de Lotka-Volterra

Las ecuaciones de Lotka–Volterra son el par clásico de ecuaciones diferenciales ordinarias que describe cómo evolucionan juntas, a lo largo del tiempo, una población de presas y una de depredadores. Las presas crecen en ausencia de depredadores y disminuyen en proporción a los encuentros; los depredadores se extinguen de hambre sin presas y crecen gracias a esos mismos encuentros. Estudiantes, ecólogos, analistas pesqueros y modeladores necesitan una serie temporal determinista a partir de los recuentos iniciales y de los cuatro coeficientes de tasa, no la captura de un gráfico que no se puede reproducir. Esta calculadora integra dx/dt = αx − βxy y dy/dt = δxy − γy con un método de Runge–Kutta de cuarto orden y paso fijo, y devuelve la trayectoria, los máximos, los mínimos y el equilibrio interior cuando existe.

Qué dicen las ecuaciones de Lotka–Volterra sobre depredador y presa

Alfred Lotka y Vito Volterra escribieron de forma independiente el mismo modelo de dos especies en la década de 1920: un stock de presas x que crecería de modo exponencial por sí solo, y un stock de depredadores y que decaería de modo exponencial sin alimento. Los encuentros se escriben como el producto x por y. Las presas siguen por tanto dx/dt igual a αx menos βxy, donde α es la tasa intrínseca de crecimiento de la presa y β es el coeficiente de depredación.

Los depredadores siguen dy/dt igual a δxy menos γy, donde δ es la conversión de presa consumida en crecimiento del depredador y γ es la tasa de muerte o inanición. Esos cuatro coeficientes más las dos poblaciones iniciales determinan por completo el campo vectorial en el primer cuadrante.

Cuando α, β, γ y δ son todos positivos, el sistema tiene un equilibrio interior en x-estrella igual a γ entre δ e y-estrella igual a α entre β; las órbitas en torno a ese punto son cerradas en el modelo continuo exacto, y por eso los gráficos de libro muestran los célebres ciclos desfasados: las presas suben, los depredadores las siguen, las presas se desploman, los depredadores se desploman y el bucle se repite.

El modelo no es un ecosistema completo: ignora la capacidad de carga, la estructura de edades, el refugio y la extinción estocástica. Es la herramienta de primer orden para enseñar y planificar crecimiento y depredación acoplados. Las unidades son las suyas: si x e y son animales por kilómetro cuadrado y el tiempo está en años, las tasas van en años recíprocos y la serie devuelta usa las mismas unidades.

Se admiten poblaciones y tasas nulas y producen trayectorias degeneradas pero bien definidas, como el crecimiento exponencial de la presa cuando los depredadores parten de cero. Los recuentos o tasas negativos no son biológicos en este contrato y se rechazan en lugar de recortarse en silencio en el borde de entrada.

Quién usa simulaciones depredador-presa

Los cursos de ecología de secundaria y universidad piden con frecuencia que el alumnado bosqueje ciclos de Lotka–Volterra a partir de una tabla de x(t) e y(t). Un oráculo RK4 determinista permite comprobar que las presas alcanzan el máximo antes que los depredadores, que la órbita discreta permanece cerca del equilibrio previsto y que una tasa negativa es ilegal en lugar de un NaN silencioso en una hoja de cálculo.

Planificadores pesqueros y de fauna a veces necesitan un pronóstico acoplado de primer orden: dados los recuentos actuales y las tasas de crecimiento y depredación supuestas, ¿cómo se mueven ambos stocks en un horizonte de T unidades de tiempo? El tope de pasos mantiene barato el isolate y aun así resuelve unos cuantos ciclos. El análisis de sensibilidad son unas pocas llamadas extra: fije las condiciones iniciales y varíe α o β para ver si el pico del depredador crece o se derrumba.

Mantenga los ocho parámetros no negativos y finitos, elija un steps lo bastante grande para resolver la órbita que le interesa (de diez a cuarenta es habitual en un gráfico de deberes; doscientos es el tope duro) y trate la serie como trayectoria numérica de las ecuaciones clásicas, no como un censo de campo ajustado, un modelo de extinción estocástica ni una curva logística solo de presas.