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ロトカ・ヴォルテラ方程式

被食者10、捕食者5から始め、4つの率を1.1、0.4、0.1、0.4とすると、各時点の個体数が分かり、共存平衡点は被食者4、捕食者2.75です。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

被食者: 10
捕食者: 5
被食者の増加率: 1.1
捕食率: 0.4
捕食者の増加率: 0.1
捕食者の死亡率: 0.4

結果

Dt: 0.1
最終の被食者数: 2.8810967151
最終の捕食者数: 6.0674292649
被食者のピーク: 10

ロトカ・ヴォルテラ方程式は、被食者個体群と捕食者個体群が時間とともにどのように連動して変わるかを記述する、古典的な常微分方程式の組です。被食者は捕食者がいなければ増え、遭遇に比例して減り、捕食者は被食者なしでは飢え、同じ遭遇から増えます。生徒・生態学者・漁業分析者・モデル作成者は、初期個体数と四つの速度係数から決定的な個体群時系列を必要とし、再生できないグラフの画面キャプチャでは足りません。本計算機は dx/dt = αx − βxy および dy/dt = δxy − γy を固定刻みの四次ルンゲ＝クッタ法で積分し、軌道・極大・極小、そして存在するときは内部平衡を返します。

ロトカ・ヴォルテラ方程式が捕食者と被食者について述べること

アルフレッド・ロトカとヴィト・ヴォルテラは1920年代に、同じ二種モデルを独立に書きました。単独なら指数的に増える被食者ストック x と、餌がなければ指数的に減る捕食者ストック y です。遭遇は積 x かける y として書きます。

したがって被食者は dx/dt が αx から βxy を引いたものに従い、α は被食者の内的増加率、β は捕食係数です。捕食者は dy/dt が δxy から γy を引いたものに従い、δ は食べた被食者の捕食者増加への変換、γ は死亡または飢餓の速度です。これら四係数と二つの初期個体群が、第一象限のベクトル場を完全に決めます。

α・β・γ・δ がすべて正のとき、系は内部平衡を持ち、x 星は γ を δ で割った値、y 星は α を β で割った値です。その点の周りの軌道は厳密な連続モデルでは閉じており、教科書の図が有名な位相のずれた周期を示す理由です。被食者が増え、捕食者が続き、被食者が崩れ、捕食者が崩れ、輪が繰り返されます。

本モデルは生態系の全体ではありません。環境収容力・年齢構造・避難場所・確率的絶滅を無視します。連成した増加と捕食を教える・計画するための一次近似の道具です。

単位は入力のままです。 x と y が平方キロメートルあたりの個体で時間が年なら、速度は年の逆数で、返る系列も同じ単位です。ゼロの個体数とゼロの速度は許され、捕食者がゼロから始まるときの被食者の指数増加のように、退化してはいるが定義された経路になります。負の個体数や速度はこの契約では生物学的でなく、入力境界で黙って切り詰めるのではなく拒否します。

捕食者・被食者のシミュレーションが役立つ場面

中等・大学の生態学では、x(t) と y(t) の表からロトカ・ヴォルテラ周期をスケッチする課題が繰り返されます。決定的な RK4 の神託により、被食者が捕食者より先にピークすること、離散軌道が予測平衡の近くに留まること、負の速度が表計算の静かな NaN ではなく違法であることを確認できます。

漁業・野生生物の計画者は、現在の個体数と仮定した増加・捕食速度から、二つのストックが T 時間単位の計画地平でどう動くかという一次連成予測を要することがあります。ステップ数の上限は isolate を安く保ちつつ、なお数周期を分解します。感度の作業は追加の数回の呼び出しです。

初期値を固定し α または β を変えて、捕食者ピークが増えるか崩れるかを見ます。八パラメータをすべて非負かつ有限に保ち、関心のある軌道を分解できる steps を選び（宿題の図なら十から四十が典型、硬上限は二百）、系列を古典方程式の数値軌道として扱い、当てはめた野外センサスや確率的絶滅モデル、被食者のみのロジスティック曲線とは見なさないでください。

活用例

生態学の宿題と周期プロット

被食者と捕食者の初期個体数に四つのロトカ・ヴォルテラ速度を加えて、位相のずれた古典周期を生徒が描ける時系列を得ます。

試験とLMSの自動採点

負または非有限のパラメータを黙って空の経路で返すのではなく拒否する、決定的な RK4 の神託で捕食者・被食者の設問を採点します。

野生生物と漁業の一次スケッチ

現在のセンサスと仮定した増加・捕食速度から、計画地平 T にわたる連成ストックを、本格的な ODE ツール一式を立てずに投影します。

よくある質問

計算機はどの積分器を使いますか？

各ステップ後、ゼロを下回る数値の行き過ぎはゼロにクランプされます。

ロトカ・ヴォルテラ方程式の4つの率は何を表しますか？

αは被食者が単独で増える速さ、βは出会いによって被食者が減る強さ、δは食べた被食者が新しい捕食者に変わる効率、γは餌がないときに捕食者が死ぬ速さを表します。

共存平衡点はどこにありますか？

4つの率がすべて正のとき、被食者はγ÷δ、捕食者はα÷βの値で平衡します。例の率1.1、0.4、0.1、0.4では、被食者4、捕食者2.75です。

捕食者と被食者の数はなぜ周期的に増減するのですか？

被食者が増えると餌の多い捕食者が後から増え、捕食が強まって被食者が減り、続いて捕食者も減ります。厳密なモデルではこの軌道が平衡点の周りで閉じ、位相のずれた周期が生まれます。

捕食者ゼロで始めるとどうなりますか？

被食者を減らすものがないため、被食者は自らの増加率で指数関数的に増えます。個体数や率がゼロでも受け付け、単純ですが明確な軌道になります。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/eco/lotka-volterra-equations

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/eco/lotka-volterra-equations \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"prey":10,"predators":5,"prey_growth":1.1,"predation_rate":0.4,"predator_growth":0.1,"predator_death":0.4,"duration":1,"steps":10}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/eco/lotka-volterra-equations", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "prey": 10,
    "predators": 5,
    "prey_growth": 1.1,
    "predation_rate": 0.4,
    "predator_growth": 0.1,
    "predator_death": 0.4,
    "duration": 1,
    "steps": 10
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/eco/lotka-volterra-equations",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "prey": 10,
    "predators": 5,
    "prey_growth": 1.1,
    "predation_rate": 0.4,
    "predator_growth": 0.1,
    "predator_death": 0.4,
    "duration": 1,
    "steps": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/eco/lotka-volterra-equations", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"prey":10,"predators":5,"prey_growth":1.1,"predation_rate":0.4,"predator_growth":0.1,"predator_death":0.4,"duration":1,"steps":10}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"prey":10,"predators":5,"prey_growth":1.1,"predation_rate":0.4,"predator_growth":0.1,"predator_death":0.4,"duration":1,"steps":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/eco/lotka-volterra-equations", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "prey": 10,
  "predators": 5,
  "prey_growth": 1.1,
  "predation_rate": 0.4,
  "predator_growth": 0.1,
  "predator_death": 0.4,
  "duration": 1,
  "steps": 10
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "eco.lotka_volterra_equations",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

制限

`max_steps`	200
`max_abs`	1000000000

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

負または非有限のパラメータは個体数を捏造せず invalid_input で失敗します。無料ブラウザ経路はAPIと同じ純粋モジュールを使うため、宿題と自動化が軌道の一歩で食い違うことはありません。

入力契約・RK4時系列・エラー時の挙動

短い別名も同じように使えます。steps は整数でなければならず、系列長が契約の一部であるため小数のステップ数は拒否されます。積分器は与えられた個体数で t がゼロから始まり、大きさ dt が T を steps で割った固定刻みを取ります。各ステップは二次元ベクトル場上の古典的 RK4 です。毎ステップ後、ゼロをわずかに下回る数値の行き過ぎはゼロにクランプされ、個体数が負になれないようにします。成功時は八入力、dt、method rk4、および式文字列 dx/dt = αx − βxy ; dy/dt = δxy − γy をエコーします。対応する速度がゼロなら、それらの平衡キーは null ではなく省略されます。検証失敗は課金されません。POST で JSON 本体を送り、必須の八フィールドはいずれも有限の非負の数です。prey（初期 x0）、predators（初期 y0）、prey_growth（α）、predation_rate（β）、predator_growth（δ）、predator_death（γ）、duration（総時間 T）、steps（固定 RK4 ステップの整数個、最大二百）です。x0、y0、alpha、beta、delta、gamma、t_end、n_steps、およびパラメータスキーマに挙がるその他の名前です。各フィールドは JSON 数値または数値文字列でよく、空文字・欠落キー・NaN・無限大・負の値は invalid_input でフィールド名を示して失敗します。ステップが IEEE-754 を溢れると、無限大を返す代わりにタスクは失敗します。series は初期点を含む steps に一を足した標本 {t, prey, predators} の配列です。final_prey と final_predators は最後の標本、peak と trough のフィールドは離散経路上の極値です。δ が正なら本体は equilibrium_prey = γ/δ も含み、β が正なら equilibrium_predators = α/β を含みます。成功した呼び出しは公開の基本価格 $0.002 で前払い KIT 残高を1件分使います。

捕食者・被食者時系列APIが役立つ場面

相平面が必要なら JSON を独自の作図コードと組み合わせてください。このエンドポイントは数値を返し、画像は返しません。

技術的な質問

ロトカ・ヴォルテラの捕食者・被食者個体群をどうシミュレートしますか？

有限の非負の prey、predators、prey_growth（α）、predation_rate（β）、predator_growth（δ）、predator_death（γ）、duration T、整数 steps を送ってください。API は steps+1 個の標本 {t, prey, predators} の RK4 系列を返します。

パラメータが負または非有限だとどうなりますか？

タスクはフィールド名を示して invalid_input で失敗します。個体群・速度・duration・steps はすべて有限かつ非負である必要があり、非有限値と欠落フィールドも同様に失敗し、課金されません。

ロトカ・ヴォルテラ方程式の共存平衡は何ですか？

速度が正のとき、被食者は γ/δ（predator_death / predator_growth）、捕食者は α/β（prey_growth / predation_rate）で平衡します。対応する除数がゼロならそれらのキーは省略されます。

ロトカ・ヴォルテラ方程式計算機の料金はいくらですか？

ブラウザの道具は無料です。API 要求は成功した呼び出しあたり $0.002 で前払い KIT 残高を使い、無効な入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →