Vérifier un nombre sans facteur carré

Un nombre sans facteur carré ne contient le carré d’aucun nombre premier : chaque facteur premier de sa décomposition apparaît au plus une fois. Cet outil fournit une réponse immédiate pour tout entier positif respectant la limite publiée. Si le nombre ne satisfait pas la propriété, il indique aussi un nombre premier dont le carré divise l’entrée, ce qui justifie le résultat de façon concise et vérifiable. Le calcul est déterministe, n’utilise aucun accès réseau et considère 1 comme sans facteur carré selon la définition mathématique usuelle.

Comprendre l’absence de facteur carré

Un entier positif est sans facteur carré lorsqu’aucun nombre premier ne le divise plus d’une fois. De manière équivalente, il ne doit exister aucun nombre premier p tel que p au carré divise cet entier. Par exemple, 30 est sans facteur carré, car sa décomposition en facteurs premiers est 2 × 3 × 5 et chaque facteur n’apparaît qu’une fois.

En revanche, 12 ne l’est pas puisque sa décomposition est 2² × 3 : le carré de 2 le divise. Le nombre 1 constitue un cas limite utile. Sa décomposition en facteurs premiers est vide ; il ne contient donc aucun nombre premier répété et est bien sans facteur carré.

L’outil applique directement cette définition. Le résultat contient la valeur d’origine et le booléen squarefree. Ce témoin permet de contrôler facilement la réponse : élevez le nombre premier indiqué au carré, puis divisez le nombre d’origine par cette valeur.

Un quotient entier démontre pourquoi l’entrée échoue, sans imposer le calcul de sa décomposition complète.

Méthode employée pour la vérification

L’algorithme repose sur une arithmétique entière exacte et sur des divisions d’essai bornées. Il commence par le plus petit candidat susceptible d’être un facteur premier, puis examine les facteurs possibles dans l’ordre croissant. Dès qu’un candidat divise la valeur restante, l’algorithme en retire une occurrence et vérifie immédiatement si le même candidat divise encore le reste.

Une seconde division signifie que le carré du candidat divise l’entrée initiale : le nombre n’est donc pas sans facteur carré et le calcul peut s’arrêter. Si une seule occurrence est présente, la recherche se poursuit sur le reste réduit. Il est inutile d’essayer des candidats supérieurs à la racine carrée de ce reste.

Tout reste composé possède un facteur inférieur ou égal à sa racine carrée, tandis qu’un reste plus grand conservé à la fin est lui-même un unique facteur premier. La méthode ne dépend ni de tests probabilistes de primalité, ni de tables en cache, ni de services externes, ni d’approximations en virgule flottante. La borne publiée rend la charge prévisible, et la validation des entiers sûrs de JavaScript garantit l’exactitude de chaque division et de chaque reste.

Saisir la valeur et lire le résultat

Saisissez n sous la forme d’un entier positif, et non d’un nombre décimal, d’une fraction, d’une chaîne en notation scientifique ou d’un nombre comportant des séparateurs de mise en forme. Les valeurs inférieures à 1 sont refusées, car cette capacité suit la définition habituelle applicable aux entiers positifs. Les valeurs dépassant le maximum documenté sont également refusées afin de maintenir une durée d’exécution bornée.

Un résultat squarefree vrai signifie que l’entier ne contient aucun facteur premier au carré ; il ne signifie pas que l’entier est premier. Ainsi, 6, 30 et 42 sont composés mais sans facteur carré, puisque chacun de leurs facteurs premiers distincts n’apparaît qu’une fois. L’entrée peut comporter d’autres facteurs premiers répétés qui ne sont pas affichés, car un seul témoin suffit pour trancher.

Cette sortie convient aux règles de validation, aux expériences de théorie des nombres et aux étapes de préparation qui nécessitent uniquement la classification. L’algorithme ne transmet l’entrée à aucun service tiers.