フェルミ準位計算機
1立方メートルあたり約8.47 × 10²⁸個の伝導電子をもつ銅のフェルミエネルギーは、約7電子ボルトです。電子密度を入力すると、ゾンマーフェルトの電子気体の式からフェルミ準位がeVで分かります。ブラウザで無料で使えます。
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計算例
- 電子密度
- 84,700,000,000,000,000,000,000,000,000
- フェルミ準位
- 7.0327613034 eV
- フェルミエネルギー (eV)
- 7.0327613034
- フェルミ波数ベクトル
- 13,586,308,449.709108
金属のフェルミ準位は、自由電子描像における絶対零度での最高占有電子状態のエネルギーです。そのエネルギーより下の状態はすべて埋まり、上の状態はすべて空です。この計算機は伝導電子の数密度を SI 単位、立方メートルあたりの電子数で受け取り、三次元電子気体のゾンマーフェルト公式からフェルミエネルギーを電子ボルトで返します。固体物理の学生、単純金属を比べる材料ノート、試験生成は、プランク定数・電子質量・三分の二乗で宿題・記事・パイプラインが食い違わないよう、同じ閉形式の値が必要です。有限数でない値も同様です。
フェルミ準位とは何か、E_F が電子密度からどう決まるか
三次元自由電子気体のフェルミエネルギーは、絶対零度における最高占有の一粒子状態のエネルギーです。単純金属のゾンマーフェルト模型では伝導電子を箱の中の非相互作用フェルミオンとして扱うので、占有状態は波数空間のフェルミ球を満たし、その半径 k_F は電子数で決まります。k_F は三π二乗かける数密度 n の立方根に等しいです。
本計算機はその恒等式を評価し、素電荷で割って答えを電子ボルトにします。教科書がアルカリ金属や貴金属のフェルミエネルギーを書く単位です。有限温度のフェルミ・ディラック化学ポテンシャル、結晶のバンド構造補正、自由電子質量以外の有効質量、量子井戸の二次元電子気体の式は適用しません。
それらは別の模型であり、別の検索意図です。典型的な数密度は立方メートルあたり十の二十八乗または二十九乗個の電子付近です。銅はおよそ 8.47 かける十の二十八乗、ナトリウムはおよそ 2.65 かける十の二十八乗、アルミニウムはおよそ 1.81 かける十の二十九乗で、いずれも同じ n の三分の二乗曲線上にあります。
入力契約、SI 単位、密度が無効なときの扱い
密度ゼロと負の密度も拒否されます。半径がゼロまたは負のフェルミ球はこの恒等式の物理入力ではなく、非正の n は三分の二乗を不良設定または複素にします。クライアントは形を推測せずに分岐できます。
単位は SI のままにしてください。立方センチメートルあたりのキャリアで表にしているなら、呼び出す前に百万を掛けてください。エンジンは cm^-3 もオングストロームのマイナス三乗も原子あたり電子数も換算しません。
後でジュールが必要なら電子ボルトの数値をエネルギー換算と組み合わせてください。Infinity に溢れる極端に大きな密度は、非有限エネルギーとして返すのではなく拒否されます。算術は少数の乗算と一つの立方根であり、表引きもネットワークもありません。
活用例
教室でのフェルミエネルギーの確認
学習者に m^-3 の自由電子密度を送らせ、ゾンマーフェルトの式に対して E_F を電子ボルトで確かめさせます。密度がゼロまたは負のときは明確なエラーになります。
単純金属の比較ノート
表に載ったキャリア密度から銅・ナトリウム・アルミニウムのフェルミ準位を比べます。数式処理ライブラリも手打ちの ħ も不要です。
よくある質問
電子密度がゼロまたは負だとどうなりますか?
フェルミ準位には有限の正の密度が必要です。非正の n は拒否され、課金されません。
電子密度はどの単位で送ればよいですか?
SI の立方メートルあたり電子数 (m^-3) です。表が cm^-3 なら、呼び出す前に 1e6 を掛けてください。エンジンは cm^-3、Å^-3、原子あたり電子数は換算しません。
身近な金属のフェルミエネルギーはどれくらいですか?
表の電子密度を使うと、1立方メートルあたり約8.47 × 10²⁸個の銅は約7電子ボルトになります。約2.65 × 10²⁸のナトリウムや約1.81 × 10²⁹のアルミニウムも同じ曲線の上にあります。
電子密度が変わるとフェルミエネルギーはどう変わりますか?
密度の3分の2乗に比例して大きくなります。電子が8倍になるとフェルミエネルギーは4倍です。8の立方根は2で、2の2乗が4になるためです。
温度や結晶構造は考慮されますか?
考慮しません。伝導電子を箱の中の相互作用しない粒子とみなすゾンマーフェルトのモデルで、絶対零度で占有されている最も高い状態のエネルギーを求めます。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/phys/fermi-level \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"electron_density":8.47e+28}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/phys/fermi-level", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"electron_density": 8.47e+28
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/phys/fermi-level",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"electron_density": 8.47e+28
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/phys/fermi-level", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"electron_density":8.47e+28}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"electron_density":8.47e+28}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/phys/fermi-level", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"electron_density": 8.47e+28
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "phys.fermi_level",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
非正の密度はこの恒等式にとって非物理的であり invalid_input で拒否されます。成功した API 呼び出しは $0.002、検証失敗は課金されません。
フェルミ準位とは何か、E_F が電子密度からどう決まるか
その表面のエネルギーは E_F が ħ の二乗かける k_F の二乗を電子質量の二倍で割った値であり、(ħ² / 2 m_e) かける (3 π² n) の三分の二乗と同一です。ħ、m_e、e は固定定数なので、同じ密度で同じ IEEE 積を作る実装は一致しなければなりません。
入力契約、SI 単位、密度が無効なときの扱い
必須フィールド electron_density(立方メートルあたりの自由電子数密度)を一つ含む JSON 本体を送ってください。値は有限の正の数でなければならず、JSON の数でも 8.47e28 のような数値文字列でも構いません。実験室やノートの既存ペイロードがキー名を変えずに対応できるよう、別名 n、density、n_e を受け付けます。electron_density の欠落、空文字、NaN、正負の Infinity、非数値トークンはフィールド名付きの invalid_input で失敗し、課金されません。成功時は electron_density をエコーし、fermi_level と fermi_energy_ev を同じ電子ボルト値で返し、fermi_wavevector を逆メートルで報告し、formula、method は free_electron_gas、unit は eV を含めます。
フェルミ準位計算機が役立つ場面と料金
教室や学習支援はフェルミ準位計算機を使い、学習者が銅、ナトリウム、あるいは与えられたキャリア密度を、ħ の桁を落とさず、癖で十のマイナス三十四乗と書かずに確認できるようにします。試験生成と LMS プラグインは、非正の密度を黙ってゼロや NaN として返すのではなく拒否する決定的な基準を必要とします。欠陥のある採点が成功と誤認しないためです。単純金属のフェルミエネルギーを比べる物性ノートは、一つの閉形式の冪のために数式処理系を持ち込む代わりに小さな parse ステップを呼びます。検証失敗は残高を消費しません。実装は純粋な tier A の parse なので、成功した呼び出しは公表の基本料金 $0.002 で、モデルトークンも外向きネットワークもありません。机上の一つの密度にはページ上の道具を、採点、CMS プラグイン、データパイプラインが KIT 残高のもとで同じ契約を必要とするときは API をご利用ください。半導体の化学ポテンシャル問題や有限温度のフェルミ・ディラック積分を送って、このエンドポイントが積分することを期待しないでください。この能力は絶対零度の自由電子フェルミエネルギーだけです。返った電子ボルト値をテストに固定し、リクエストを小さく保てば、宿題、解説、エッジワーカー向けに再現可能なフェルミ準位が得られ、独自の記号数学基盤を立てる必要はありません。
連携の活用例
試験生成と固体の CMS widget
決定的な基準でフェルミエネルギーの設問を採点するか、自由電子模型の記事にライブのフェルミ準位計算機を埋め込み、与えた n の電子ボルト値を読者に見せます。
技術的な質問
電子密度からフェルミ準位をどう計算しますか。
立方メートルあたりの有限で正の自由電子密度を electron_density(別名 n、density、n_e)として送ってください。API は E_F = (ħ² / 2 m_e) (3π² n)^{2/3} を電子ボルトで返します。
計算機はどの物理定数を使いますか。
2019 年の正確な SI 定数 h = 6.62607015e-34 J·s と e = 1.602176634e-19 C、ħ = h/2π、および CODATA 2018 の電子質量 9.1093837015e-31 kg です。エネルギーはジュールを e で割って eV にします。
フェルミ準位計算機の料金はいくらですか。
ブラウザの道具は無料です。API 要求は成功した呼び出しごとに前払い KIT 残高から $0.002 です。無効な入力は課金されません。