Fermi-Niveau-Rechner
Kupfer mit rund 8,47 × 10²⁸ Leitungselektronen pro Kubikmeter hat eine Fermi-Energie von etwa 7 Elektronenvolt. Geben Sie eine Elektronendichte pro Kubikmeter ein und erhalten Sie das Fermi-Niveau in eV nach der Sommerfeld-Formel. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Elektronendichte
- 84.700.000.000.000.000.000.000.000.000
- Fermi-Niveau
- 7,0327613034 eV
- Fermi-Energie (eV)
- 7,0327613034
- Fermi-Wellenvektor
- 13.586.308.449,709108
Das Fermi-Niveau eines Metalls ist die Energie des höchsten besetzten Elektronenzustands beim absoluten Nullpunkt im Bild freier Elektronen: unterhalb dieser Energie ist jeder Zustand gefüllt und oberhalb jeder Zustand leer. Dieser Rechner nimmt die Anzahldichte jener Leitungselektronen in SI-Einheiten entgegen, Elektronen pro Kubikmeter, und liefert die Fermi-Energie in Elektronenvolt nach der Sommerfeld-Formel des dreidimensionalen Elektronengases. Lernende der Festkörperphysik, Materialhefte, die einfache Metalle vergleichen, und Prüfungsgeneratoren brauchen denselben geschlossenen Wert, damit Hausaufgaben, Artikel und Pipelines bei der Planck-Konstante, der Elektronenmasse oder der Zweidrittelpotenz niemals voneinander abweichen.
Was das Fermi-Niveau ist und wie E_F aus der Elektronendichte folgt
Die Fermi-Energie eines dreidimensionalen Gases freier Elektronen ist die Energie des höchsten besetzten Einteilchenzustands beim absoluten Nullpunkt. Im Sommerfeld-Modell eines einfachen Metalls werden die Leitungselektronen als nichtwechselwirkende Fermionen in einem Kasten behandelt, sodass die besetzten Zustände eine Fermi-Kugel im Wellenvektorraum füllen, deren Radius k_F durch die Elektronenzahl festliegt: k_F gleicht der Kubikwurzel aus drei Pi zum Quadrat mal der Anzahldichte n. Er wendet kein temperaturabhängiges chemisches Potenzial nach Fermi-Dirac an, keine kristalline Bandstrukturkorrektur, keine von der freien Elektronenmasse verschiedene effektive Masse und nicht die Formel des zweidimensionalen Elektronengases für Quantentöpfe.
Das sind andere Modelle und andere Suchabsichten. Typische Anzahldichten liegen nahe zehn hoch achtundzwanzig oder neunundzwanzig Elektronen pro Kubikmeter: Kupfer etwa 8.47 mal zehn hoch achtundzwanzig, Natrium etwa 2.65 mal zehn hoch achtundzwanzig und Aluminium etwa 1.81 mal zehn hoch neunundzwanzig, alle auf derselben Kurve von n zur Zweidrittel.
Eingabevertrag, SI-Einheiten und was geschieht, wenn die Dichte ungültig ist
Nulldichte und negative Dichte werden ebenso abgelehnt: eine Fermi-Kugel mit Null- oder negativem Radius ist für diese Identität keine physikalische Eingabe, und ein nichtpositives n würde die Zweidrittelpotenz schlecht gestellt oder komplex machen. Bleiben Sie bei SI-Einheiten: haben Sie Träger pro Kubikzentimeter tabelliert, multiplizieren Sie vor dem Aufruf mit einer Million; die Engine wandelt niemals cm^-3, Ångström hoch minus drei oder Elektronen pro Atom um. Koppeln Sie die Elektronenvoltzahl nur dann mit einem Energieumrechner, wenn Sie später Joule brauchen.
Extrem große Dichten, die nach Infinity überlaufen, werden abgelehnt statt als nichtendliche Energie zurückgegeben. Die Arithmetik ist eine Handvoll Multiplikationen und eine Kubikwurzel; es gibt weder Tabellenabfrage noch Netz.
Wo ein Fermi-Niveau-Rechner sich lohnt und was er kostet
Klassenräume und Nachhilfeplattformen nutzen einen Fermi-Niveau-Rechner, damit Lernende Kupfer, Natrium oder eine angegebene Trägerdichte prüfen, ohne eine Ziffer von ħ zu verlieren oder aus Gewohnheit zehn hoch minus vierunddreißig zu schreiben. Prüfungsgeneratoren und LMS-Erweiterungen brauchen ein deterministisches Orakel, das eine nichtpositive Dichte ablehnt, statt still null oder NaN zurückzugeben, das ein fehlerhafter Bewerter als Erfolg werten könnte. Hefte der kondensierten Materie, die Fermi-Energien einfacher Metalle vergleichen, rufen einen winzigen Parse-Schritt auf, statt ein Computeralgebrasystem für eine einzige geschlossene Potenz heranzuziehen.
Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Senden Sie kein Problem des chemischen Potenzials eines Halbleiters und kein Fermi-Dirac-Integral bei endlicher Temperatur und erwarten Sie, dass dieser Endpunkt es integriert; diese Fähigkeit ist nur die Fermi-Energie freier Elektronen beim absoluten Nullpunkt. Heften Sie den zurückgegebenen Elektronenvoltwert in Tests fest, halten Sie Anfragen klein, und Sie erhalten reproduzierbare Fermi-Niveaus für Hausaufgaben, Erklärungen und Randworker, ohne eine eigene symbolische Mathematikinfrastruktur aufzustellen.
Anwendungsfälle
Schulische Prüfungen der Fermi-Energie
Lassen Sie Lernende eine Dichte freier Elektronen in m^-3 senden und E_F in Elektronenvolt gegen die Sommerfeld-Formel prüfen, einschließlich eines klaren Fehlers, wenn die Dichte null oder negativ ist.
Vergleichshefte einfacher Metalle
Vergleichen Sie die Fermi-Niveaus von Kupfer, Natrium und Aluminium aus tabellierten Trägerdichten, ohne Computeralgebrabibliothek und ohne von Hand getipptes ħ.
Prüfungsgeneratoren und Festkörper-CMS-Widgets
Bewerten Sie Fermi-Energie-Aufgaben mit einem deterministischen Orakel, oder betten Sie einen lebenden Fermi-Niveau-Rechner in einen Artikel zum Modell freier Elektronen ein, damit Lesende die Elektronenvoltzahl zu einem angegebenen n sehen.
Häufige Fragen
Was geschieht, wenn die Elektronendichte null oder negativ ist?
Ein Fermi-Niveau verlangt eine endliche positive Dichte; ein nichtpositives n wird abgelehnt und nicht berechnet.
Welche physikalischen Konstanten verwendet der Rechner?
Energie wird nach eV umgerechnet, indem Joule durch e geteilt werden.
Welche Einheiten soll ich für die Elektronendichte verwenden?
SI-Elektronen pro Kubikmeter (m^-3). Steht Ihre Tabelle in cm^-3, multiplizieren Sie vor dem Aufruf mit 1e6. Die Engine wandelt weder cm^-3 noch Å^-3 noch Elektronen pro Atom um.
Welche Fermi-Energien haben gängige Metalle?
Mit tabellierten Elektronendichten ergibt Kupfer mit etwa 8,47 × 10²⁸ Elektronen pro Kubikmeter rund 7 Elektronenvolt. Natrium mit etwa 2,65 × 10²⁸ und Aluminium mit etwa 1,81 × 10²⁹ liegen auf derselben Kurve.
Wie ändert sich die Fermi-Energie mit der Elektronendichte?
Sie wächst mit der Dichte hoch zwei Drittel. Achtmal mehr Elektronen pro Kubikmeter ergeben daher die vierfache Fermi-Energie, denn die Kubikwurzel aus acht ist zwei und zwei zum Quadrat ist vier.
Berücksichtigt der Rechner Temperatur oder Kristallstruktur?
Nein. Er nutzt das Sommerfeld-Modell: Die Leitungselektronen gelten als nicht wechselwirkende Teilchen in einem Kasten, und die Fermi-Energie ist der höchste besetzte Zustand am absoluten Nullpunkt.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
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Endpunkt
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"method" => "POST",
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req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
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{
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}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "phys.fermi_level",
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}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
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Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Eine nichtpositive Dichte ist für diese Identität unphysikalisch und wird mit invalid_input abgelehnt; ein Wert, der keine endliche Zahl ist, wird ebenso abgelehnt. Erfolgreiche API-Aufrufe kosten $0.002; fehlgeschlagene Prüfung wird nicht berechnet.
Was das Fermi-Niveau ist und wie E_F aus der Elektronendichte folgt
Die Energie dieser Fläche ist E_F gleich ħ zum Quadrat mal k_F zum Quadrat über dem Doppelten der Elektronenmasse, identisch mit E_F gleich (ħ² / 2 m_e) mal (3 π² n) zur Zweidrittel. Dieser Rechner wertet jene Identität aus und teilt durch die Elementarladung, damit die Antwort in Elektronenvolt steht, der Einheit, in der Lehrbücher Fermi-Energien der Alkali- und Edelmetalle angeben.
Eingabevertrag, SI-Einheiten und was geschieht, wenn die Dichte ungültig ist
Senden Sie einen JSON-Körper mit einem Pflichtfeld, electron_density, der Anzahldichte freier Elektronen in Elektronen pro Kubikmeter. Der Wert muss eine endliche positive Zahl sein; er darf als JSON-Zahl oder als numerische Zeichenkette eintreffen, etwa 8.47e28. Die Aliase n, density und n_e werden akzeptiert, damit vorhandene Labor- oder Heft-Nutzlasten ohne Umbenennen der Schlüssel abgebildet werden. Fehlendes electron_density, leere Zeichenkette, NaN, plus oder minus Infinity und jedes nichtnumerische Token scheitern mit invalid_input unter Nennung des Feldes und werden nicht berechnet. Bei Erfolg spiegelt der Körper electron_density, liefert fermi_level und fermi_energy_ev als denselben Elektronenvoltwert, meldet fermi_wavevector in reziproken Metern und enthält formula, method gleich free_electron_gas sowie unit gleich eV, damit Mandanten ohne Formschnüffeln verzweigen.
Wo ein Fermi-Niveau-Rechner sich lohnt und was er kostet
Weil die Umsetzung reines Parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Grundpreis $0.002, ohne Modelltoken und ohne ausgehendes Netz. Nutzen Sie das Seitenwerkzeug für eine einzelne Dichte am Schreibtisch; nutzen Sie die API, wenn ein Bewerter, eine CMS-Erweiterung oder eine Datenpipeline denselben Vertrag unter KIT-Guthaben braucht.
Technische Fragen
Wie berechnet man das Fermi-Niveau aus der Elektronendichte?
Senden Sie eine endliche positive Dichte freier Elektronen in Elektronen pro Kubikmeter als electron_density (Aliase n, density, n_e). Die API liefert E_F = (ħ² / 2 m_e) (3π² n)^{2/3} in Elektronenvolt.
Was kostet der Fermi-Niveau-Rechner?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen prepaid KIT-Guthaben zu $0.002 je erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.