Calculateur de niveau de Fermi
Le cuivre, avec environ 8,47 × 10²⁸ électrons de conduction par mètre cube, a une énergie de Fermi proche de 7 électronvolts. Saisissez une densité d'électrons par mètre cube pour obtenir le niveau de Fermi en eV selon la formule de Sommerfeld. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Densité d'électrons
- 84 700 000 000 000 000 000 000 000 000
- Niveau de Fermi
- 7,0327613034 eV
- Énergie de Fermi (eV)
- 7,0327613034
- Vecteur d'onde de Fermi
- 13 586 308 449,709108
Le niveau de Fermi d'un métal est l'énergie de l'état électronique occupé le plus haut au zéro absolu, dans le modèle des électrons libres : au-dessous de cette énergie tout état est rempli et au-dessus tout état est vide. Ce calculateur accepte la densité numérique de ces électrons de conduction en unités SI, électrons par mètre cube, et renvoie l'énergie de Fermi en électronvolts d'après la formule de Sommerfeld du gaz électronique tridimensionnel. Les étudiants de physique du solide, les carnets de matériaux qui comparent des métaux simples et les générateurs d'examens ont besoin de la même valeur sous forme close afin que devoirs, articles et pipelines ne divergent jamais sur la constante de Planck, la masse de l'électron ou la puissance deux tiers.
Ce qu'est le niveau de Fermi et comment E_F sort de la densité électronique
L'énergie de Fermi d'un gaz d'électrons libres tridimensionnel est l'énergie de l'état à une particule occupé le plus haut au zéro absolu. Dans le modèle de Sommerfeld d'un métal simple, les électrons de conduction sont traités comme des fermions non interactifs dans une boîte, si bien que les états occupés remplissent une sphère de Fermi dans l'espace des vecteurs d'onde dont le rayon k_F est fixé par le nombre d'électrons : k_F égale la racine cubique de trois pi au carré fois la densité numérique n.
Ce calculateur évalue cette identité et divise par la charge élémentaire afin que la réponse soit en électronvolts, l'unité dans laquelle les manuels citent les énergies de Fermi des alcalins et des métaux nobles. Il n'applique pas un potentiel chimique de Fermi-Dirac à température finie, ni une correction de structure de bandes cristallines, ni une masse effective autre que la masse de l'électron libre, ni la formule du gaz bidimensionnel utilisée pour les puits quantiques. Ce sont d'autres modèles et d'autres intentions de recherche.
Les densités typiques se situent près de dix puissance vingt-huit ou vingt-neuf électrons par mètre cube : le cuivre vaut environ 8.47 fois dix puissance vingt-huit, le sodium environ 2.65 fois dix puissance vingt-huit et l'aluminium environ 1.81 fois dix puissance vingt-neuf, tous sur la même courbe de n à la puissance deux tiers.
Contrat d'entrée, unités SI et ce qui se passe lorsque la densité est invalide
Densité nulle et densité négative sont également rejetées : une sphère de Fermi de rayon nul ou négatif n'est pas une entrée physique pour cette identité, et une n non positive rendrait la puissance deux tiers mal posée ou complexe. Conservez les unités SI : si vous avez tabulé des porteurs par centimètre cube, multipliez par un million avant d'appeler ; le moteur ne convertit jamais cm^-3, angströms à la moins trois ni électrons par atome.
Associez la figure en électronvolts à un convertisseur d'énergie seulement si vous avez ensuite besoin de joules. Les densités extrêmement grandes qui débordent vers Infinity sont rejetées plutôt que renvoyées comme une énergie non finie. L'arithmétique est une poignée de multiplications et une racine cubique ; il n'y a ni consultation de table ni réseau.
Où un calculateur de niveau de Fermi trouve son utilité, et ce qu'il coûte
Les salles de classe et les plateformes de tutorat utilisent un calculateur de niveau de Fermi pour que les apprenants vérifient le cuivre, le sodium ou une densité de porteurs énoncée sans perdre un chiffre de ħ ni écrire dix puissance moins trente-quatre par habitude. Les générateurs d'examens et les extensions LMS ont besoin d'un oracle déterministe qui refuse une densité non positive au lieu de renvoyer en silence zéro ou NaN qu'un correcteur défectueux pourrait traiter comme un succès.
Les carnets de matière condensée qui comparent les énergies de Fermi de métaux simples appellent une infime étape parse au lieu de tirer un système d'algèbre informatique pour une seule puissance sous forme close. Une validation en échec ne consomme pas le solde. N'envoyez pas un problème de potentiel chimique de semi-conducteur ni une intégrale de Fermi-Dirac à température finie en attendant que ce point d'accès l'intègre ; cette capacité n'est que l'énergie de Fermi des électrons libres au zéro absolu.
Fixez la valeur en électronvolts renvoyée dans les tests, gardez les requêtes petites, et vous obtenez des niveaux de Fermi reproductibles pour les devoirs, la vulgarisation et les workers de bordure sans dresser une infrastructure de mathématique symbolique à vous.
Cas d’usage
Vérifications scolaires de l'énergie de Fermi
Laissez les élèves envoyer une densité d'électrons libres en m^-3 et vérifier E_F en électronvolts contre la formule de Sommerfeld, avec une erreur claire lorsque la densité est nulle ou négative.
Carnets de comparaison de métaux simples
Comparez les niveaux de Fermi du cuivre, du sodium et de l'aluminium à partir de densités de porteurs tabulées, sans bibliothèque d'algèbre informatique ni ħ saisi à la main.
Générateurs d'examens et widgets CMS de physique du solide
Notez des items d'énergie de Fermi avec un oracle déterministe, ou intégrez un calculateur de niveau de Fermi en direct dans un article du modèle des électrons libres afin que les lecteurs voient la figure en électronvolts d'une n énoncée.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si la densité électronique est nulle ou négative ?
Un niveau de Fermi exige une densité finie positive ; une n non positive est rejetée et n'est pas facturée.
Quelles constantes physiques le calculateur utilise-t-il ?
L'énergie passe en eV en divisant les joules par e.
Quelles unités dois-je utiliser pour la densité électronique ?
Électrons SI par mètre cube (m^-3). Si votre tableau est en cm^-3, multipliez par 1e6 avant d'appeler. Le moteur ne convertit ni cm^-3, ni Å^-3, ni électrons par atome.
Quelle énergie de Fermi ont les métaux courants ?
Avec les densités électroniques des tables, le cuivre, à environ 8,47 × 10²⁸ électrons par mètre cube, donne près de 7 électronvolts. Le sodium, à environ 2,65 × 10²⁸, et l'aluminium, à environ 1,81 × 10²⁹, suivent la même courbe.
Comment l'énergie de Fermi varie-t-elle avec la densité d'électrons ?
Elle croît comme la densité à la puissance deux tiers. Huit fois plus d'électrons par mètre cube donnent donc quatre fois plus d'énergie de Fermi, car la racine cubique de huit vaut deux et deux au carré vaut quatre.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/phys/fermi-level \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"electron_density":8.47e+28}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/phys/fermi-level", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"electron_density": 8.47e+28
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/phys/fermi-level",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"electron_density": 8.47e+28
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/phys/fermi-level", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"electron_density":8.47e+28}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"electron_density":8.47e+28}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/phys/fermi-level", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"electron_density": 8.47e+28
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "phys.fermi_level",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Une densité non positive est antiphysique pour cette identité et est rejetée avec invalid_input ; une valeur qui n'est pas un nombre fini est rejetée de la même façon. Les appels API réussis coûtent $0.002 ; une validation en échec n'est pas facturée.
Ce qu'est le niveau de Fermi et comment E_F sort de la densité électronique
L'énergie de cette surface est E_F égale à ħ au carré fois k_F au carré sur le double de la masse de l'électron, identique à E_F égale à (ħ² / 2 m_e) fois (3 π² n) à la puissance deux tiers.
Contrat d'entrée, unités SI et ce qui se passe lorsque la densité est invalide
Envoyez un corps JSON avec un champ obligatoire, electron_density, la densité numérique d'électrons libres en électrons par mètre cube. La valeur doit être un nombre fini positif ; elle peut arriver comme nombre JSON ou comme chaîne numérique, par exemple 8.47e28. Les alias n, density et n_e sont acceptés afin que les charges de laboratoire ou de carnet existantes se correspondent sans renommer la clé. Un electron_density manquant, une chaîne vide, NaN, plus ou moins Infinity et tout jeton non numérique échouent avec invalid_input en nommant le champ et ne sont pas facturés. En cas de succès, le corps répète electron_density, renvoie fermi_level et fermi_energy_ev comme la même valeur en électronvolts, indique fermi_wavevector en mètres réciproques, et inclut formula, method égal à free_electron_gas et unit égal à eV afin que les clients se ramifient sans inspecter les formes.
Où un calculateur de niveau de Fermi trouve son utilité, et ce qu'il coûte
Comme l'implémentation est un parse de palier A pur, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002, sans jetons de modèle et sans réseau sortant. Utilisez l'outil de la page pour une seule densité au bureau ; utilisez l'API lorsqu'un correcteur, une extension CMS ou un pipeline de données a besoin du même contrat sous solde KIT.
Questions techniques
Comment calcule-t-on le niveau de Fermi à partir de la densité électronique ?
Envoyez une densité d'électrons libres finie et positive en électrons par mètre cube comme electron_density (alias n, density, n_e). L'API renvoie E_F = (ħ² / 2 m_e) (3π² n)^{2/3} en électronvolts.
Combien coûte le calculateur de niveau de Fermi ?
L'outil du navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent un solde KIT prépayé à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.