Comprobador de superprimos

Un superprimo, también llamado superprimo o primo de índice primo, es un número primo cuya posición en la sucesión de todos los primos es, a su vez, un primo. Los primos ordenados empiezan por dos, tres, cinco, siete, once, trece y diecisiete; sus índices (contando desde uno) van del uno al siete. Los índices dos, tres, cinco y siete son primos, de modo que tres, cinco, once y diecisiete son superprimos, mientras que dos (índice uno) y siete (índice cuatro) son solo primos ordinarios. Este comprobador acepta un único entero n. Cuando n es primo la respuesta devuelve el índice de n y si ese índice es primo. El algoritmo es una criba determinista, sin red, azar ni reloj.

Qué es un superprimo y cómo se formula el veredicto

Un superprimo se define con dos condiciones de primalidad anidadas. Primero, n debe ser primo: no tiene divisor positivo distinto de uno y de sí mismo. Segundo, si n es el k-ésimo primo en la sucesión creciente habitual —p uno vale dos, p dos vale tres, p tres vale cinco, p cuatro vale siete, p cinco vale once, y así sucesivamente—, entonces k también debe ser primo.

El índice k coincide exactamente con el valor de la función contadora de primos π(n) siempre que n sea primo, porque π(n) cuenta cuántos primos son menores o iguales que n, y n ocupa ese último puesto. La sucesión de superprimos empieza por tanto en tres, cinco, once, diecisiete, treinta y uno, cuarenta y uno, cincuenta y nueve, sesenta y siete, ochenta y tres, ciento nueve: son los primos en los índices primos dos, tres, cinco, siete, once, trece, diecisiete, diecinueve, veintitrés y veintinueve.

Observe que dos, igual a p uno, queda fuera porque uno no es un índice primo, y que siete, igual a p cuatro, queda fuera porque cuatro es compuesto.

Contrato de entrada, límites y cómo se calcula el índice

Tras aceptar el entero, el motor comprueba primero si n es primo mediante división de prueba en una rueda de seis pasos. Si esa prueba falla, la solicitud se rechaza con un mensaje de que n no es primo; esos fallos no se facturan. Si n es primo, el motor ejecuta la criba de Eratóstenes en el intervalo de cero a n, cuenta cuántos enteros sin marcar quedan en o por debajo de n y trata ese recuento como el índice k contado desde uno.

Una segunda prueba por división decide entonces si k es primo. Prefiera un comprobador de primos dedicado cuando solo necesite un sí o no sobre n, y una calculadora del n-ésimo primo cuando ya conozca el índice y quiera el primo en sí. Esta página responde a la pregunta combinada: dado un primo, ¿su índice también es primo?

Dónde un comprobador de superprimos resulta útil

Las aulas y los entrenadores de concursos usan un comprobador de superprimos para que el alumnado clasifique primos de índice primo sin construir una criba a mano ni fiarse de una lista opaca en línea. Los generadores de exámenes necesitan un oráculo determinista que marque los compuestos como entrada inválida en lugar de devolver false en silencio, porque un calificador defectuoso podría tratar esa bandera como una clasificación correcta de un no primo.

Los cuadernos que filtran una columna de primos candidatos hasta dejar superprimos pueden llamar al contrato una vez por celda y conservar el índice devuelto para una columna de auditoría. Combine esta herramienta con un comprobador de primos cuando desee clasificar compuestos en lugar de rechazarlos, y con una calculadora del n-ésimo primo cuando quiera recorrer la sucesión por índice en vez de probar un candidato que ya tiene a mano.