Calculadora de fórmula da seção
Localize o ponto que divide um segmento numa razão dada: de A (2, 3) a B (8, 7) na razão 1:2, fica a um terço do caminho, em x igual a 4 e y igual a 4 e um terço. Também faz divisão externa. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- X1
- 2
- Y1
- 3
- X2
- 8
- Y2
- 7
- M
- 1
- N
- 2
- X
- 4
- Y
- 4,3333333333
A fórmula da seção é a resposta em forma fechada para uma pergunta clássica de geometria analítica: dados os extremos A(x1, y1) e B(x2, y2), onde fica o ponto P que divide o segmento AB na razão m para n? Na divisão interna, P fica entre A e B; na externa, fica sobre a reta que passa por A e B, porém fora do segmento.
Como a fórmula da seção encontra o ponto divisor
Rotule os extremos A(x1, y1) e B(x2, y2) e a razão m:n, positiva ou com sinal. Na divisão interna as coordenadas de P são x igual a (m vezes x2 mais n vezes x1) dividido por (m mais n), e y igual a (m vezes y2 mais n vezes y1) dividido por (m mais n).
Geometricamente, o peso m puxa em direção a B e o peso n em direção a A, de modo que uma razão um para um produz o ponto médio, e uma razão um para dois coloca P a um terço do caminho de A até B. Na divisão externa os sinais se invertem no numerador e o denominador passa a ser m menos n: x igual a (m vezes x2 menos n vezes x1) sobre (m menos n), e o mesmo para y.
Pontos externos ficam na reta AB prolongada além do extremo mais próximo; uma verificação clássica em sala é A em (2, 3), B em (8, 7) com m:n igual a um para dois no modo externo, que cai fora do segmento em vez de entre as extremidades. A fórmula externa fica igualmente indefinida quando m é igual a n. Como ambos os caminhos usam apenas adição, subtração, multiplicação e uma única divisão, o resultado é determinístico, O(1) e livre de bibliotecas trigonométricas ou iterativas.
O que você envia e o que recebe de volta
Forneça seis números finitos obrigatórios: x1 e y1 do extremo A, x2 e y2 do extremo B, e m e n como partes da razão. Opcionalmente defina division como internal ou external; quando omitido, o serviço usa internal por padrão. Após o parse, o serviço escolhe a fórmula interna ou externa, verifica que o denominador é não nulo e devolve o ponto.
Verificações clássicas: A(2, 3), B(8, 7), m igual a 1, n igual a 2, modo interno produz P(4, 13/3); os mesmos extremos com m igual a 1, n igual a −1 e interno falham porque m mais n é zero; externo com m e n iguais falha porque m menos n é zero. Use a ferramenta gratuita do navegador para checagens rápidas e depois o mesmo contrato a partir de scripts quando precisar de avaliação em massa sem reimplementar as barreiras de denominador zero em cada linguagem.
Onde pontos de seção aparecem no trabalho real
Cursos de geometria analítica do ensino médio e da faculdade pedem com frequência que o aluno localize o ponto que divide um segmento plotado em uma razão dada; uma calculadora confiável com checagens rígidas de m-mais-n e m-menos-n agiliza a correção de tarefas e elimina erros de planilha em que alguém confunde as fórmulas interna e externa ou aceita divisão por zero.
Fluxos de desenho, levantamento e GIS simples que já projetam pontos em um plano cartesiano local precisam de estações ponderadas ao longo de bases—por exemplo um piquete a duas partes em direção a B e uma em direção a A—antes de relatar ou demarcar; um oráculo numérico compartilhado mantém as anotações de campo e os scripts de escritório alinhados na mesma forma fechada.
Tutoriais de jogos, gráficos e CAD costumam colocar pontos de controle, juntas ou marcadores de spawn como pontos de seção ao longo de arestas; a mesma fórmula interna com m:n igual a um para um é o ponto médio usado em subdivisão e ajudas de colisão. Se mais tarde você precisar de pontos de seção em 3D, geodésicas esféricas ou curvas paramétricas além de um segmento reto, trate isso como intenções de busca separadas em vez de sobrecarregar esta página da fórmula de seção em coordenadas.
Casos de uso
Checagens de tarefa e prova
Localize o ponto que divide AB na razão m:n e rejeite razões de denominador zero com um erro claro em vez de Infinity.
Estações de levantamento em uma base
A partir de dois extremos projetados e uma razão de campo, recupere as coordenadas planas da estação antes de demarcar ou relatar.
Perguntas frequentes
Quais fórmulas esta calculadora usa?
Interna: x = (m x2 + n x1)/(m+n), y = (m y2 + n y1)/(m+n). Externa: x = (m x2 − n x1)/(m−n), y = (m y2 − n y1)/(m−n).
O que acontece se m + n for zero na divisão interna?
A divisão interna é indefinida quando a soma das partes da razão é zero.
O modo padrão é interno ou externo?
Interno. Omita division ou defina como "internal" para um ponto entre A e B; use "external" para um ponto fora do segmento.
Quanto custa?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
O que é divisão externa de um segmento?
O ponto fica na reta que passa por A e B, mas fora do segmento. A fórmula subtrai em vez de somar, divide por m menos n e não tem resposta quando m é igual a n.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/section-formula \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x1":2,"y1":3,"x2":8,"y2":7,"m":1,"n":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/section-formula", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"x1": 2,
"y1": 3,
"x2": 8,
"y2": 7,
"m": 1,
"n": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/section-formula",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x1": 2,
"y1": 3,
"x2": 8,
"y2": 7,
"m": 1,
"n": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/section-formula", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x1":2,"y1":3,"x2":8,"y2":7,"m":1,"n":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x1":2,"y1":3,"x2":8,"y2":7,"m":1,"n":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/section-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"x1": 2,
"y1": 3,
"x2": 8,
"y2": 7,
"m": 1,
"n": 2
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.section_formula",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Esta calculadora recebe os seis números x1, y1, x2, y2, m e n, mais um modo de divisão opcional (interna por padrão ou externa), valida que todo valor seja finito e que o denominador seja não nulo, e devolve as coordenadas de P junto com as entradas normalizadas e a marca de método section_formula. Alunos conferindo tarefas, professores montando corretores determinísticos, ferramentas de CAD e jogos que precisam de pontos ponderados ao longo de arestas, e scripts de levantamento em um plano local obtêm o mesmo resultado puro na ferramenta gratuita do navegador e na API paga. Requisições com m mais n igual a zero na divisão interna, ou m igual a n na divisão externa, falham com um erro claro invalid_input em vez de devolver Infinity. Sem chamadas de rede, sem amostragem aleatória e sem surpresas de ponto flutuante além da aritmética IEEE-754 comum sobre os números que você fornece.
Como a fórmula da seção encontra o ponto divisor
A fórmula interna fica indefinida exatamente quando m mais n é zero, porque esse denominador some; este serviço recusa esse caso com invalid_input e nomeia a regra de soma zero para que clientes de formulário possam corrigir a razão. Coordenadas grandes ou razões extremas ainda podem estourar o intervalo double de IEEE-754; quando o ponto calculado não é finito, a requisição falha com uma mensagem clara de overflow em vez de serializar Infinity no JSON.
O que você envia e o que recebe de volta
Aliases curtos ax, ay, bx, by, ratio_m, ratio_n, mode e type são aceitos para que rótulos compactos do formulário fiquem alinhados a um único tratador. Campos ausentes, strings vazias, texto não numérico, NaN e Infinity são rejeitados com invalid_input e não são cobrados. Em caso de sucesso a resposta JSON inclui x e y arredondados para serialização estável, ecoa as seis coordenadas e partes de razão normalizadas, define division no modo resolvido e method na string section_formula para que logs e UIs didáticas documentem o algoritmo. O contrato é JSON estável adequado a testes unitários, corretores de tarefa e pipelines em lote que mapeiam razões de aresta a pontos. O preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido.
Onde pontos de seção aparecem no trabalho real
Como esta capacidade é um motor de parse puro, a validação falha não consome saldo e as execuções bem-sucedidas permanecem em US$ 0,002 por item.
Casos de integração
Ajudas de aresta em jogos e CAD
Posicione um ponto de controle ou junta ao longo de uma aresta com a mesma fórmula de seção interna no navegador e na API.
Perguntas técnicas
E se m for igual a n na divisão externa?
A divisão externa falha com invalid_input quando m − n é zero (partes de razão iguais), porque o denominador some.