Calculadora de área de polígono irregular

Esta calculadora computa a área de um polígono irregular a partir de uma lista ordenada de coordenadas de vértices, usando a clássica fórmula do cadarço (shoelace), também conhecida como fórmula do agrimensor. Você fornece os vértices como pares [x, y] ou objetos {x, y} na ordem do contorno, no sentido horário ou anti-horário; o motor fecha o anel por você se o primeiro ponto não se repetir no final e descarta a duplicata quando você já o fechou. O resultado é uma única área absoluta, expressa no quadrado da unidade das suas coordenadas: metros geram metros quadrados e pés geram pés quadrados.

O que a fórmula do cadarço faz e por que a ordem dos vértices importa

Um polígono simples é uma cadeia fechada de arestas retas que não se cruza, e sua área pode ser obtida apenas da sequência das coordenadas dos vértices, sem triangular o interior, rasterizá-lo ou amostrar pontos aleatórios. A fórmula do cadarço multiplica a coordenada x de cada vértice pela coordenada y do vértice seguinte, subtrai os produtos cruzados na direção oposta, soma as contribuições com sinal ao longo do anel, divide o valor absoluto por dois e o apresenta como a área.

O nome vem do padrão cruzado que as multiplicações traçam quando as coordenadas são escritas em duas colunas, como o cadarço de um sapato. Como a soma tem sinal, um anel em sentido horário produz o negativo de um em sentido anti-horário; esta ferramenta toma o valor absoluto, de modo que ambos os sentidos retornam a mesma área positiva. O que a fórmula não perdoa é a desordem: os vértices devem seguir o contorno em sequência, horária ou anti-horária.

Uma lista embaralhada dos mesmos pontos descreve uma cadeia que se autointersecta, cuja soma não é a área pretendida, e a ferramenta não tem como adivinhar a ordem correta. Se seus pontos vêm de uma varredura ou de um traçado GPS, ordene-os ou percorra-os ao longo do contorno primeiro. Cada elemento pode ser um array de dois números [x, y] ou um objeto com chaves x e y; lon, lng, longitude, lat e latitude também são reconhecidos para cargas no formato GIS.

Formato de entrada, fechamento do anel e comportamento de erro

Muitos formatos de geometria fecham o anel repetindo o primeiro vértice no final; se você enviar uma lista assim, o motor detecta a duplicata final e a remove antes de contar, de modo que um retângulo fechado de quatro pontos passado como cinco entradas é tratado como quatro vértices. A convenção oposta também vale: deixar o anel aberto é o padrão esperado, e você não deve acrescentar nada para fechá-lo. Após essa normalização, a contagem de vértices deve ser de pelo menos três.

O mesmo código de erro cobre um campo vertices ausente, uma carga que não é array, um vértice com uma única coordenada e valores não finitos como NaN ou Infinity produzidos por uma conversão anterior de texto para número. Os erros são determinísticos e não são cobrados: uma requisição malsucedida nunca consome saldo.

Unidades, exemplo resolvido e quando usar esta ferramenta

A fórmula do cadarço é independente de unidade: qualquer que seja a unidade das suas coordenadas, a área retornada está nessa unidade ao quadrado. Coordenadas em metros geram metros quadrados, pés geram pés quadrados e coordenadas sem unidade geram unidades quadradas. A ferramenta nunca converte unidades por você; se seus vértices misturam metros e pés, converta antes com uma capacidade de conversão e depois meça.

Um exemplo resolvido torna a mecânica concreta: considere o polígono em L com vértices [0, 0], [6, 0], [6, 2], [3, 5], [0, 2]. Emparelhando cada vértice com o seguinte, e o último de volta ao primeiro, os produtos diretos são 0, 12, 30, 6 e 0, totalizando 48, enquanto os produtos inversos são 0, 0, 6, 0 e 0, totalizando 6; a diferença é 42 e a metade do seu valor absoluto é 21, portanto a área é exatamente 21 unidades quadradas.

Recorra a esta ferramenta sempre que você tiver um contorno em vez de uma fórmula: lotes esboçados a partir de um levantamento, cômodos medidos canto a canto, perímetros escaneados a laser reduzidos a polígonos, mapas de jogos e exercícios de geometria — tudo se encaixa. Não a use para figuras que se autointersectam, como uma estrela traçada em uma única cadeia, pois a soma então subtrai os lóbulos sobrepostos por definição; divida a figura em partes simples e some as áreas.

Para círculos e arcos circulares, uma aproximação poligonal converge rapidamente, mas uma calculadora dedicada de círculo ou setor é a ferramenta exata.