Unregelmäßige Polygonfläche berechnen

Dieser Rechner ermittelt die Fläche eines unregelmäßigen Polygons aus einer geordneten Liste von Eckpunktkoordinaten mit der klassischen gaußschen Trapezformel, auch Schnürsenkel-Formel genannt. Sie übergeben die Eckpunkte als [x, y]-Paare oder {x, y}-Objekte in Reihenfolge des Umfangs, im oder gegen den Uhrzeigersinn; die Engine schließt den Ring für Sie, falls der erste Punkt am Ende nicht wiederholt wird, und entfernt das Duplikat stillschweigend, wenn Sie ihn bereits geschlossen haben. Das Ergebnis ist eine einzige absolute Fläche im Quadrat der Einheit Ihrer Koordinaten: Meter ergeben Quadratmeter, Fuß ergeben Quadratfuß.

Was die gaußsche Trapezformel leistet und warum die Reihenfolge der Eckpunkte zählt

Ein einfaches Polygon ist eine geschlossene Kette gerader Kanten, die sich nicht selbst schneidet; seine Fläche lässt sich allein aus der Folge der Eckpunktkoordinaten bestimmen, ohne das Innere zu triangulieren, zu rastern oder Zufallspunkte zu ziehen. Die gaußsche Trapezformel multipliziert die x-Koordinate jedes Eckpunkts mit der y-Koordinate des nächsten, subtrahiert die Kreuzprodukte in Gegenrichtung, summiert die vorzeichenbehafteten Beiträge um den Ring, halbiert den Betrag und gibt diesen als Fläche aus.

Der Name Schnürsenkel-Formel rührt vom Kreuzmuster her, das die Multiplikationen ergeben, wenn man die Koordinaten in zwei Spalten schreibt – wie beim Schnüren eines Schuhs. Da die Summe ein Vorzeichen trägt, liefert ein Ring im Uhrzeigersinn das Negative eines Rings gegen den Uhrzeigersinn; das Werkzeug bildet den Betrag, sodass beide Umlaufrichtungen dieselbe positive Fläche ergeben. Das Einzige, was die Formel nicht verzeiht, ist Unordnung: Die Eckpunkte müssen dem Umfang der Reihe nach folgen, im oder gegen den Uhrzeigersinn.

Eine vermischte Liste derselben Punkte beschreibt eine selbstüberschneidende Kette, deren Summe nicht die beabsichtigte Fläche ist, und das Werkzeug kann die gemeinte Reihenfolge nicht erraten. Stammen Ihre Punkte aus einem Scan oder einer GPS-Spur, sortieren oder verfolgen Sie sie zuerst entlang des Umfangs. Jedes Element darf ein Array [x, y] aus zwei Zahlen oder ein Objekt mit den Schlüsseln x und y sein; lon, lng, longitude, lat und latitude werden ebenfalls für GIS-förmige Nutzdaten erkannt.

Eingabeform, Ringschluss und Fehlerverhalten

Viele Geometrieformate schließen einen Polygonring, indem sie den ersten Eckpunkt am Ende wiederholen; liefern Sie eine solche Liste, erkennt die Engine das abschließende Duplikat und entfernt es vor dem Zählen, sodass ein geschlossenes Viereck aus fünf Einträgen als vier Eckpunkte behandelt wird. Die umgekehrte Konvention ist gleichermaßen in Ordnung: Ein offener Ring ist der erwartete Standard, und Sie sollten nichts hinzufügen, um ihn zu schließen. Nach dieser Normalisierung muss die Eckpunktzahl mindestens drei betragen.

Derselbe Fehlercode deckt ein fehlendes vertices-Feld, eine Nutzlast ohne Array, einen Eckpunkt mit nur einer Koordinate sowie nicht endliche Werte wie NaN oder Infinity ab, die aus einer früheren Umwandlung von Zeichenketten in Zahlen stammen. Fehler sind deterministisch und werden nicht berechnet: Eine fehlgeschlagene Anfrage verbraucht niemals Budget.

Einheiten, Rechenbeispiel und Einsatzfälle dieses Werkzeugs

Die gaußsche Trapezformel ist einheitenunabhängig: In welcher Einheit Ihre Koordinaten auch vorliegen, die zurückgegebene Fläche liegt im Quadrat dieser Einheit. Koordinaten in Metern ergeben Quadratmeter, Fuß ergeben Quadratfuß und einheitenlose Diagrammkoordinaten ergeben Quadrateinheiten. Das Werkzeug rechnet niemals Einheiten für Sie um; mischen Ihre Eckpunkte Meter und Fuß, wandeln Sie sie zuerst mit einer Umrechner-Funktion um und messen Sie dann.

Ein Rechenbeispiel macht das Verfahren greifbar: Nehmen Sie das L-förmige Polygon mit den Eckpunkten [0, 0], [6, 0], [6, 2], [3, 5], [0, 2]. Paart man jeden Eckpunkt mit dem nächsten und den letzten zurück zum ersten, ergeben die Vorwärtsprodukte 0, 12, 30, 6 und 0, zusammen 48, während die Rückwärtsprodukte 0, 0, 6, 0 und 0, zusammen 6, ergeben; die Differenz ist 42, und die Hälfte ihres Betrags ist 21 – die Fläche beträgt also exakt 21 Quadrateinheiten.

Greifen Sie zu diesem Werkzeug, wann immer Ihnen ein Umfang statt einer Formel vorliegt: Flurstücke aus einer Vermessung, Zimmer, die Ecke für Ecke gemessen wurden, auf Polygone reduzierte laserscannte Grundrisse, Spielkarten und Geometrie-Hausaufgaben passen alle. Verwenden Sie es nicht für selbstüberschneidende Figuren wie einen als einzige Kette gezeichneten Stern, denn die Summe subtrahiert dann konstruktionsbedingt überlappende Flächenteile; zerlegen Sie die Figur stattdessen in einfache Teile und summieren Sie deren Flächen. Für Kreise und Kreisbögen konvergiert eine Polygonnäherung schnell, doch ein eigener Kreis- oder Sektorrechner ist das exakte Werkzeug.