أداة فحص تقارب متسلسلة p
مجموع 1/n² متقارب لأن أسّه 2 أكبر من 1، بينما المتسلسلة التوافقية 1/n ذات الأس 1 متباعدة. أدخلوا أي أس منتهٍ لتحصلوا على التصنيف والمقارنة المستخدمة. مجاناً في متصفحكم.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- القدرة (W)
- 2
- المتسلسلة
- sum from n = 1 to infinity of 1 / n^p
- التصنيف
- convergent
- المقارنة
- p > 1
- العتبة
- 1
أدخلوا أي أس حقيقي محدود، فتقارنه الحاسبة بالقيمة الحرجة 1. توضح النتيجة هل تتقارب المتسلسلة، وتعرض المقارنة ذات الصلة، وتعيد ذكر المعيار الحاكم. وهي وسيلة مباشرة وحتمية لمراجعة التمارين أو توثيق الحساب أو إدراج اختبار متسلسلات p القياسي في سير عمل آلي من دون تقدير المجاميع الجزئية.
تعرّفوا إلى متسلسلة p قبل تطبيق الاختبار
ينطبق اختبار متسلسلات p على مجموع لانهائي حده ذو الرتبة n هو بالضبط 1/n^p، ويبدأ عند فهرس صحيح موجب. يجب أن يكون الأس p عددًا حقيقيًا ثابتًا لا يتغير مع n. متى كانت المتسلسلة بهذه الصورة، اعتمد سلوكها بالكامل على كون p أعلى من العتبة الحرجة 1 أم لا.
أدخلوا ذلك الأس في حقل p. لا يغيّر معامل ثابت أمام المتسلسلة كلها التقارب إذا كان محدودًا وغير صفري، ولذلك تطلب الأداة الأس وحده لأن المعامل لا يؤثر في الاختبار. إذا احتوت الحدود على لوغاريتمات أو مضروبات أو إشارات متناوبة أو أسس متغيرة أو مقام أعقد، فاستخدموا الجبر أو مبرهنة مقارنة أولًا لإثبات إمكان رد المسألة إلى متسلسلة p.
لا تستخرجوا أسًا يبدو مناسبًا من تعبير غير مكافئ فعلًا لهذه الصورة القياسية.
قارنوا p بالقيمة الحرجة واحد
تتقارب متسلسلة p إذا وفقط إذا كانت p أكبر تمامًا من 1. وكلمة تمامًا مهمة هنا. وإذا كانت p أصغر من 1، فإن المتسلسلة تتباعد أيضًا.
ويشمل ذلك الأسس الكسرية الموجبة مثل 1/2، والصفر، والأسس السالبة. عندما تكون p > 1 تتناقص الحدود بسرعة كافية ليقترب المجموع اللانهائي من قيمة محدودة. يبقى حقل العتبة مساويًا 1 كي تستخدم البرمجيات النتيجة من دون تحليل النص.
لا تستعمل الأداة سماحية عددية؛ بل تقارن القيمة مباشرة بالحد الرياضي الدقيق 1.
فسّروا النتيجة وحدودها تفسيرًا صحيحًا
يعني التصنيف متقاربة أن متتالية المجاميع الجزئية تقترب من نهاية محدودة، لكنه لا يحسب تلك النهاية عادةً. ويعني التصنيف متباعدة أن المتسلسلة لا تقترب من مجموع محدود وفق التعريف المعتاد للمتسلسلة اللانهائية. تذكروا أيضًا أن اقتراب الحدود من الصفر شرط لازم لكنه غير كافٍ.
لذلك يُستحسن استعمال هذه الأداة كقرار قائم على مبرهنة، لا كمحاكاة عددية. عند مراجعة حل يستخدم اختبار المقارنة، تحققوا بصورة مستقلة من اتجاه المتباينة: قد يثبت حد علوي بمتسلسلة p متقاربة التقارب، وقد يثبت حد سفلي بمتسلسلة متباعدة التباعد. تصنّف الأداة المتسلسلة المرجعية، لكنها لا تتحقق من متباينة غير مدخلة مع متتالية أخرى.
حالات الاستخدام
مراجعة تمرين في التفاضل والتكامل
أدخلوا أس متسلسلة p قياسية وتحققوا من تصنيف التقارب بالمقارنة الدقيقة مع العتبة.
اختيار متسلسلة للمقارنة
صنّفوا متسلسلة p مرشحة قبل استعمالها حدًا علويًا متقاربًا أو حدًا سفليًا متباعدًا.
أتمتة التحقق من الحلول
أضيفوا قرار تقارب حتميًا ونتيجة منطقية منظّمة إلى برمجيات تعليمية أو سير عمل للرياضيات الرمزية.
الأسئلة الشائعة
هل تتقارب متسلسلة p عندما يكون 0 < p < 1؟
لا. تؤول حدودها إلى الصفر، لكن مجاميعها الجزئية تظل متباعدة.
هل يجوز أن تكون p صفرًا أو سالبة؟
نعم. تقبل الأداة أي p حقيقية محدودة، وتتباعد هذه الحالات لأن p ليست أكبر من 1.
هل تحسب الأداة قيمة المجموع اللانهائي؟
لا. إنها تصنّف التقارب بمبرهنة متسلسلات p ولا تحسب قيمة زيتا المقابلة.
هل يتقارب مجموع 1/n²؟
نعم. أسّه 2، وهو أكبر تماماً من القيمة الحرجة 1، لذا يحكم اختبار متسلسلة p بتقاربه. وتصنّف الأداة المتسلسلة لكنها لا تحسب قيمة المجموع اللانهائي.
ماذا يحدث عندما تساوي p الواحد؟
تصبح المتسلسلة هي المتسلسلة التوافقية، وهي متباعدة رغم أن حدودها تقترب من الصفر. وتباعدها بطيء جداً، فقد لا يظهر من المجاميع الجزئية الأولى.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/p-series-convergence \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"p":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/p-series-convergence", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"p": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/p-series-convergence",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"p": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/p-series-convergence", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"p":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"p":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/p-series-convergence", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"p": 2
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.p_series_convergence",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تصنّف هذه الأداة متسلسلة p اللانهائية المكتوبة على صورة مجموع 1 مقسومًا على n مرفوعًا إلى p، من n = 1 إلى ما لا نهاية.
تعرّفوا إلى متسلسلة p قبل تطبيق الاختبار
فمثلًا، للمجموع 1/n^2 القيمة p = 2، أما المتسلسلة التوافقية، أي مجموع 1/n، فلها p = 1.
قارنوا p بالقيمة الحرجة واحد
عندما تكون p = 1 تصبح المتسلسلة توافقية وتتباعد، رغم أن حدودها تؤول إلى الصفر. عند p = 0 يساوي كل حد 1، بينما تجعل p السالبة مقادير الحدود تنمو بدل أن تتناقص. تعيد الأداة الأس المدخل، ونتيجة منطقية للتقارب، وتصنيفًا واضحًا، وإحدى المقارنات p > 1 أو p = 1 أو p < 1.
فسّروا النتيجة وحدودها تفسيرًا صحيحًا
لبعض متسلسلات p قيم معروفة، مثل حالة p = 2، غير أن اختبار العتبة يقرر التقارب فقط. ولا يعني ذلك أن كل حد ينمو، ولا أن المجاميع الجزئية الأولى يجب أن تبدو كبيرة؛ فتباعد حالة p = 1 بطيء على نحو مشهور. تكلفة كل عملية حساب عبر API هي $0.002، ويمكن لنسخة المتصفح تطبيق القاعدة الحتمية نفسها محليًا.
أسئلة تقنية
لأي قيم من p تتقارب متسلسلة p؟
تتقارب بالضبط عندما تكون p > 1.
ماذا يحدث عندما تساوي p العدد 1؟
تصبح المتسلسلة توافقية، وهي متباعدة.
ما تكلفة الفحص عبر API؟
تكلفة كل عملية حساب عبر API هي $0.002، ويمكن لحاسبة المتصفح تنفيذ القاعدة نفسها محليًا.