حاسبة الأعداد المركّبة
أجرِ العمليات الحسابية على عددين مركّبين a + bi في مكان واحد: حاصل ضرب (3 + 2i) في (1 − 4i) هو 11 − 10i. تستخدم القسمة صيغة المرافق الدقيقة وترفض المقسوم عليه الصفري، فلا تتسلل نتيجة لانهائية. مجانية في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- A الحقيقي
- 3
- A التخيلي
- 2
- B الحقيقي
- 1
- B التخيلي
- -4
- العملية
- Multiply
- الجزء الحقيقي
- 11
- الجزء التخيلي
- -10
- العرض
- 11 - 10i
تُجري حاسبة الأعداد المركّبة العمليات الحسابية الأربع الأساسية على عددين مركّبين يُعطَيان بصيغة الجزء الحقيقي والجزء التخيّلي. تُحسب القسمة بصيغة المرافق الدقيقة مع رفض القسمة على صفر رفضًا صحيحًا.
ما الذي تحسبه عملية على الأعداد المركّبة فعليًا
العدد المركّب هو زوج من الأعداد الحقيقية يُكتب على الصورة a + bi، حيث i هي الوحدة التخيّلية التي تحقق i² = −1. يعمل الجمع والطرح مكوّنًا بمكوّن: تُجمَع الأجزاء الحقيقية معًا وتُجمَع الأجزاء التخيّلية معًا بصورة مستقلة، فمثلًا (3 + 2i) + (1 − 4i) = 4 − 2i. أما الضرب فهو الحالة الأكثر أهمية لأنه يستخدم الخاصية المُعرِّفة ل i.
فعند فكّ (a + bi)(c + di) بقانون التوزيع نحصل على ac + adi + bci + bdi²، ولما كان i² = −1 فإن النتيجة هي (ac − bd) + (ad + bc)i. والجزء الحقيقي من حاصل الضرب ليس حاصل ضرب الجزأين الحقيقيين، وهذا أكثر خطأ شيوعًا عند الحساب اليدوي.
القسمة وحيلة المرافق
قسمة الأعداد المركّبة هي العملية الأكثر حاجة إلى آلة حاسبة، لأن صيغتها ليست بديهية. لحساب (a + bi) / (c + di) تضرب البسط والمقام في مرافق المقام (c − di)، فيصبح المقام c² + d² وهو عدد حقيقي صرف، ويُفكّ البسط بقاعدة الضرب. والنتيجة النهائية هي ((ac + bd) / (c² + d²)) + ((bc − ad) / (c² + d²))i.
والحالة الوحيدة التي تنهار فيها هذه الطريقة هي عندما c² + d² = 0، وهو ما لا يحدث إلا إذا كان c و d صفرين معًا، أي العدد المركّب الصفري. القسمة على صفر غير معرّفة في حقل الأعداد المركّبة كما هي في الأعداد الحقيقية، وهذه النقطة الطرفية تُبلّغ عنها كخطأ في الإدخال بدلًا من إرجاع قيمة لا نهائية أو NaN قد يُفسد سلسلة معالجة لاحقة بصمت.
وتُقرَّب النتائج إلى عشر خانات عشرية حتى لا يظهر أي تشويش من الفاصلة العائمة في المخرجات، ويُطبَّع الصفر السالب إلى صفر للحصول على استجابات نظيفة قابلة للمقارنة.
أين تظهر الحسابات المركّبة في التطبيق العملي
الأعداد المركّبة ليست نزوة أكاديمية، بل هي الترميز العملي في عدة تخصصات هندسية. يمثّل مهندسو الكهرباء الممانعات والمطاور (phasors) بأعداد مركّبة، فجمع عنصرين على التوالي عملية جمع، وحساب دوال الانتقال عملية قسمة. وتُعبَّر في معالجة الإشارات المركّبات الترددية بقيم مركّبة ناتجة عن تحويل فورييه، ويضربها الترشيح في معاملات مركّبة.
وتضع نظرية التحكم الأقطاب والأصفار على المستوى المركّب، أما ميكانيكا الكم فمكتوبة من أساسها بسعات مركّبة. ولأن القدرة عديمة الحالة وحتمية، فهي آمنة للتخزين المؤقت وآمنة لإعادة المحاولة وآمنة للتشغيل المتوازي على أي عدد من أزواج المعاملات تتطلبه أعباء عملك.
حالات الاستخدام
التحقق من حسابات ممانعة الدوائر
اجمع أو اقسم الممانعات المركّبة عند جمع المكوّنات على التوالي والتوازي، وتحقق من الحساب اليدوي قبل اعتماد تصميم اللوحة.
التحقق من مخرجات معالجة الإشارات
افحص خط معالجة DSP بمقارنة نواتجه وخارج قسمته المركّبة مع مرجع مستقل حتمي التنفيذ.
الأسئلة الشائعة
كم تبلغ التكلفة؟
كما أنها مجانية التشغيل في متصفحك على هذه الصفحة — فالكود نفسه يعمل في الحالتين.
ما العمليات المدعومة؟
الجمع والطرح والضرب والقسمة، وتُمرَّر في حقل العملية. تأخذ كل عملية عددين مركّبين يُعطَيان بجزأيهما الحقيقي والتخيّلي.
ماذا يحدث عند القسمة على صفر؟
إذا كان العدد المركّب الثاني 0 + 0i، يُرفَض الطلب بخطأ إدخال غير صالح. فالقسمة على العدد المركّب الصفري غير معرّفة ولا يُقرَّب إليها أبدًا.
ما مدى دقة النتيجة؟
الصيغ مغلقة دقيقة؛ وتُقرَّب المخرجات إلى عشر خانات عشرية لإزالة تشويش الفاصلة العائمة، ويُطبَّع الصفر السالب إلى صفر.
هل يمكن إدخال أجزاء سالبة أو عشرية؟
نعم. يقبل الجزآن الحقيقي والتخيّلي أي عدد منتهٍ، بما في ذلك السالبة والعشرية مثل 2.5 أو −0.75.
هل يُخزَّن أي شيء؟
لا. الحساب عديم الحالة: تُعالَج الأعداد الأربعة في الذاكرة ثم تُطرَح، ولا يُعاد سوى النتيجة.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a_real":3,"a_imag":2,"b_real":1,"b_imag":-4,"operation":"multiply"}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a_real": 3,
"a_imag": 2,
"b_real": 1,
"b_imag": -4,
"operation": "multiply"
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a_real": 3,
"a_imag": 2,
"b_real": 1,
"b_imag": -4,
"operation": "multiply"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a_real":3,"a_imag":2,"b_real":1,"b_imag":-4,"operation":"multiply"}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a_real":3,"a_imag":2,"b_real":1,"b_imag":-4,"operation":"multiply"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"a_real": 3,
"a_imag": 2,
"b_real": 1,
"b_imag": -4,
"operation": "multiply"
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.complex_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تُدخل a = a_real + a_imag·i و b = b_real + b_imag·i، ثم تختار الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة، فتحصل على العدد المركّب الناتج بالصيغة الديكارتية ومعه سلسلة نصية مقروءة للعرض. ويعمل الكود الحتمي نفسه مجانًا في متصفحك وعبر واجهة API المدفوعة، فما تختبره في هذه الصفحة هو بالضبط ما يصل إلى نظامك عند الدمج.
ما الذي تحسبه عملية على الأعداد المركّبة فعليًا
تطبّق حاسبة الأعداد المركّبة هذه الصيغ المغلقة مباشرة، من دون تكرار ولا تقريب يتجاوز التقريب النهائي، لذا تكون الإجابة حتمية: المدخلات نفسها تنتج دائمًا مخرجات متطابقة، سواء أُجري الحساب في متصفحك أم على خوادمنا الطرفية عبر API.
أين تظهر الحسابات المركّبة في التطبيق العملي
في كل هذه المجالات تكون الحسابات نفسها آلية — والعمليات الأربع في هذه الصفحة تغطيها تمامًا — وقيمة API أنه يمكن دمجها في خطوة تحقق أو أداة تعليمية أو مولّد أكواد دون إعادة تنفيذ الصيغ.
حالات التكامل
بناء أداة تعليمية أو للواجبات
مرِّر تمارين الطلاب عبر API لتوليد حلول دقيقة مشروحة ل (a + bi) × (c + di) دون أن تصون الصيغ بنفسك.