Calculadora de Números Complexos

A calculadora de números complexos executa as quatro operações aritméticas básicas sobre dois números complexos fornecidos como partes real e imaginária. A divisão é calculada com a fórmula exata do conjugado e rejeita corretamente a divisão por zero.

O que uma operação com números complexos realmente calcula

Um número complexo é um par de números reais escrito como a + bi, em que i é a unidade imaginária que satisfaz i² = −1. A adição e a subtração funcionam componente a componente: as partes reais se combinam e as partes imaginárias se combinam de forma independente, de modo que (3 + 2i) + (1 − 4i) = 4 − 2i. A multiplicação é o caso interessante porque usa a propriedade que define i.

Expandir (a + bi)(c + di) pela propriedade distributiva dá ac + adi + bci + bdi² e, como i² = −1, o resultado é (ac − bd) + (ad + bc)i. A parte real de um produto não é o produto das partes reais, o que é o erro mais comum de quem calcula à mão.

A divisão e o truque do conjugado

Dividir números complexos é a operação que mais exige uma calculadora, pois a fórmula não é óbvia. Para calcular (a + bi) / (c + di), multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, (c − di). O denominador passa a ser c² + d², um número real comum, e o numerador é expandido pela regra da multiplicação.

O resultado final é ((ac + bd) / (c² + d²)) + ((bc − ad) / (c² + d²))i. O único caso em que isso falha é quando c² + d² = 0, o que ocorre apenas quando c e d são ambos zero — o número complexo zero. Os resultados são arredondados para dez casas decimais para que o ruído de ponto flutuante nunca apareça na saída, e o zero negativo é normalizado para zero, garantindo respostas limpas e comparáveis.

Onde a aritmética complexa aparece na prática

Números complexos não são uma curiosidade acadêmica; são a notação de trabalho de várias disciplinas de engenharia. Engenheiros eletricistas representam impedâncias e fasores como números complexos, de modo que combinar dois elementos de circuito em série é uma adição e calcular funções de transferência é uma divisão. O processamento de sinais expressa componentes de frequência como valores complexos vindos de uma transformada de Fourier, e a filtragem os multiplica por coeficientes complexos.

A teoria de controle posiciona polos e zeros no plano complexo, e a mecânica quântica é escrita em amplitudes complexas desde o início. Como a capacidade é sem estado e determinística, é seguro armazená-la em cache, repeti-la e executá-la em paralelo com quantos pares de operandos a sua carga de trabalho exigir.