Rechner für sphärischen Exzess
Geben Sie die drei Winkel eines Kugeldreiecks ein und erhalten Sie Exzess, Fläche und Anteil an der Kugel: Winkel von 1,2, 1,1 und 1 Radiant auf einer Kugel mit Radius 1 ergeben einen Exzess von 0,158407 rad, also 9,076072°. Kostenlos in Ihrem Browser.
- Kostenlos
- Läuft in Ihrem Browser
- Ohne Anmeldung
- Ihre Daten bleiben auf Ihrem Gerät
Im Browser ausführen – kostenlos
Rechenbeispiel
- A
- 1,2
- B
- 1,1
- C
- 1
- Kugelradius (R)
- 1
- Sphärischer Exzess (Radiant)
- 0,158407
- Sphärischer Exzess (Grad)
- 9,076072
- Fläche
- 0,158407
- Anteil der Kugeloberfläche
- 0,012606
Berechnet den sphärischen Exzess eines Kugeldreiecks aus seinen drei Innenwinkeln A, B und C. Gibt den Exzess in Radiant und Grad, die Fläche des Dreiecks auf einer Kugel mit Radius R sowie den Anteil der gesamten Kugel zurück, den es bedeckt.
Satz von Girard: E = A + B + C − π
Auf einer Kugel summieren sich die Winkel eines Dreiecks auf mehr als π Radiant, und der Betrag, um den sie es überschreiten, ist der sphärische Exzess, E = A + B + C − π. Dies ist der Satz von Girard, und er ist die Kernidentität, die diese Fähigkeit auswertet. Sie übergeben die drei Innenwinkel A, B und C zusammen mit dem Kugelradius R.
Anders als bei einem ebenen Dreieck, dessen Winkel sich stets exakt zu π summieren und keine Flächeninformation tragen, ist der Exzess eines Kugeldreiecks direkt proportional dazu, wie viel Oberfläche es umschließt, weshalb eine einzige Subtraktion das ganze Ergebnis erfasst.
Ausgaben für Fläche und Kugelanteil
Aus dem Exzess leitet das Werkzeug zwei weitere Größen ab. Die Fläche des Dreiecks auf einer Kugel mit Radius R ist area = R² · E, sodass der Exzess in Radiant buchstäblich die Fläche auf einer Einheitskugel ist. Sowohl der Exzess in Radiant als auch der Exzess in Grad (E·180/π) werden zurückgegeben, sodass Sie das Ergebnis in der Ihnen genehmen Einheit lesen können.
Jedes Feld wird half-up auf die von Ihnen angeforderten decimals gerundet, standardmäßig auf sechs Stellen.
Prüfung und die erzwungenen physikalischen Bedingungen
Die Eingaben werden gegen die Geometrie geprüft, nicht nur gegen ihre Typen. Entscheidend ist, dass der Exzess echt positiv sein muss: überschreitet A + B + C nicht π, ist das Dreieck entartet oder eben, und das Werkzeug lehnt es mit "exceso no positivo" ab, statt eine Fläche von null oder negativ zu melden. Diese Prüfungen machen jede zurückgegebene Fläche physikalisch bedeutsam.
Anwendungsfälle
Geodäsie und Kartierung
Verwandeln Sie die gemessenen Winkel eines Vermessungsdreiecks auf der Erdoberfläche in seine wahre Fläche und korrigieren Sie die Krümmung, die die ebene Trigonometrie über lange Basislinien hinweg ignoriert.
GIS und Fläche sphärischer Polygone
Zerlegen Sie eine Region in Kugeldreiecke und summieren Sie deren aus dem Exzess abgeleitete Flächen, um Land-, Meeres- oder Abdeckungsflächen auf einem Globus mit gewähltem Radius R zu berechnen.
Navigation und Astronomie im Unterricht
Veranschaulichen Sie den Satz von Girard mit reproduzierbaren Zahlen und zeigen Sie, wie die Abweichung der Winkelsumme von π unmittelbar auf die Fläche und den bedeckten Kugelanteil abbildet.
Häufige Fragen
Was ist der sphärische Exzess?
Es ist der Betrag, um den die Innenwinkel eines Kugeldreiecks π Radiant überschreiten: E = A + B + C − π, nach dem Satz von Girard.
Wie wird die Fläche berechnet?
area = R² · E, wobei E der Exzess in Radiant ist.
Kann ich die Winkel in Grad eingeben?
Ja. Standard ist das Bogenmaß, Sie können aber Grad wählen, dann wird jeder Winkel vor der Berechnung mit π/180 multipliziert. Den Exzess erhalten Sie immer sowohl im Bogenmaß als auch in Grad.
Warum wird mein Kugeldreieck abgelehnt?
Jeder Winkel muss echt zwischen 0 und π liegen, also zwischen 0° und 180°, und alle drei zusammen müssen mehr als π ergeben. Sonst ist das Dreieck flach oder entartet und hat keine positive Fläche.
Welchen Anteil der Kugel bedeckt das Dreieck?
Den Exzess geteilt durch 4π, den Raumwinkel der ganzen Kugel. Winkel von 1,2, 1,1 und 1 Radiant bedecken unabhängig vom Radius 0,012606 der Oberfläche, die Fläche selbst wächst dagegen mit dem Quadrat des Radius.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"A":1.2,"B":1.1,"C":1,"R":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"A": 1.2,
"B": 1.1,
"C": 1,
"R": 1
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"A": 1.2,
"B": 1.1,
"C": 1,
"R": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"A":1.2,"B":1.1,"C":1,"R":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"A":1.2,"B":1.1,"C":1,"R":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"A": 1.2,
"B": 1.1,
"C": 1,
"R": 1
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.spherical_excess",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Satz von Girard: E = A + B + C − π
Winkel dürfen in Radiant (die Voreinstellung) oder in Grad angegeben werden, indem angle_unit auf "deg" gesetzt wird, wobei dann jeder mit x·π/180 umgerechnet wird, bevor der Exzess gebildet wird.
Ausgaben für Fläche und Kugelanteil
Es meldet außerdem sphere_fraction = E / (4π), den Anteil der gesamten Kugeloberfläche (deren Raumwinkel 4π Steradiant beträgt), den das Dreieck bedeckt. Das ausgelieferte Beispiel verwendet A = 1.2, B = 1.1, C = 1 Radiant mit R = 1 und liefert excess 0.158407 rad, 9.076072°, area 0.158407 und sphere_fraction 0.012606.
Prüfung und die erzwungenen physikalischen Bedingungen
A, B und C müssen endliche Zahlen sein, und nach einer etwaigen Umrechnung von Grad in Radiant muss jeder echt zwischen 0 und π liegen; ein Winkel von 0 oder π oder darüber hinaus begrenzt kein echtes Kugeldreieck und liefert einen typisierten invalid_input-Fehler mit der Meldung "ángulos fuera de rango". Der Radius R muss eine positive endliche Zahl sein, angle_unit muss genau "rad" oder "deg" sein, und decimals muss eine Ganzzahl von 0 bis 10 sein.
Technische Fragen
Kann ich Winkel in Grad eingeben?
Ja. Setzen Sie angle_unit auf "deg", und A, B und C werden mit x·π/180 umgerechnet, bevor der Exzess berechnet wird; die Standardeinheit ist Radiant.
Warum habe ich einen invalid_input-Fehler erhalten?
Jeder Winkel muss nach der Umrechnung echt zwischen 0 und π liegen, R muss positiv sein, und der Exzess muss positiv sein; andernfalls ist das Dreieck ungültig.
Ist es kostenlos und wie automatisiere ich es?
Das tier-A-Widget läuft kostenlos in Ihrem Browser; die deterministische API liefert für Geodäsie-Aufträge im Stapel dasselbe JSON ab $0.002 pro Aufruf.