Calculadora de exceso esférico
Escriba los tres ángulos de un triángulo esférico y obtenga su exceso, su área y la parte de la esfera que cubre: ángulos de 1,2, 1,1 y 1 radianes en una esfera de radio 1 dan un exceso de 0,158407 rad, o 9,076072°. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 1,2
- B
- 1,1
- C
- 1
- Radio de la esfera (R)
- 1
- Exceso esférico (radianes)
- 0,158407
- Exceso esférico (grados)
- 9,076072
- Área
- 0,158407
- Fracción de la superficie esférica
- 0,012606
Calcula el exceso esférico de un triángulo esférico a partir de sus tres ángulos interiores A, B y C. Devuelve el exceso en radianes y grados, el área del triángulo sobre una esfera de radio R y la fracción de la esfera entera que cubre.
Teorema de Girard: E = A + B + C − π
Sobre una esfera los ángulos de un triángulo suman más de π radianes, y la cantidad en que lo superan es el exceso esférico, E = A + B + C − π. Este es el teorema de Girard, y es la identidad central que evalúa esta capacidad. Usted pasa los tres ángulos interiores A, B y C junto con el radio de la esfera R.
A diferencia de un triángulo plano, donde los ángulos siempre suman exactamente π y no llevan información de área, el exceso de un triángulo esférico es directamente proporcional a cuánta superficie encierra, y por eso una sola resta captura todo el resultado.
Salidas de área y fracción de esfera
A partir del exceso la herramienta deriva dos cantidades más. El área del triángulo sobre una esfera de radio R es area = R² · E, de modo que el exceso en radianes es literalmente el área sobre una esfera unitaria. Se devuelven tanto el exceso en radianes como el exceso en grados (E·180/π) para que lea el resultado en la unidad que le convenga.
Cada campo se redondea con half-up a los decimales que solicite, con seis posiciones por defecto.
Validación y las restricciones físicas que impone
Las entradas se validan contra la geometría, no solo contra sus tipos. Fundamental: el exceso debe ser estrictamente positivo: si A + B + C no supera π el triángulo es degenerado o plano y la herramienta lo rechaza con "exceso no positivo" en vez de reportar un área nula o negativa. Estas comprobaciones hacen que cada área devuelta tenga sentido físico.
Qué puede hacer con ella
Geodesia y cartografía
Convierta los ángulos medidos de un triángulo de topografía sobre la superficie de la Tierra en su área verdadera, corrigiendo la curvatura que la trigonometría plana ignora en líneas base largas.
SIG y área de polígonos esféricos
Descomponga una región en triángulos esféricos y sume sus áreas derivadas del exceso para calcular superficies de tierra, océano o cobertura sobre un globo de radio R elegido.
Enseñanza de navegación y astronomía
Ilustre el teorema de Girard con números reproducibles, mostrando cómo la desviación de la suma de ángulos respecto a π se traduce directamente en área y en la fracción de esfera encerrada.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el exceso esférico?
Es la cantidad en que los ángulos interiores de un triángulo esférico superan π radianes: E = A + B + C − π, por el teorema de Girard.
¿Cómo se calcula el área?
area = R² · E, donde E es el exceso en radianes.
¿Puedo escribir los ángulos en grados?
Sí. Los radianes son la opción por defecto, pero puede elegir grados y cada ángulo se multiplica por π/180 antes de calcular el exceso. El exceso se devuelve siempre en radianes y en grados.
¿Por qué se rechaza mi triángulo esférico?
Cada ángulo debe estar estrictamente entre 0 y π, es decir, entre 0° y 180°, y los tres deben sumar más de π. Si no, el triángulo es plano o degenerado y no tiene un área positiva que mostrar.
¿Qué parte de la esfera cubre el triángulo?
El exceso dividido entre 4π, el ángulo sólido de toda la esfera. Con ángulos de 1,2, 1,1 y 1 radianes el triángulo cubre 0,012606 de la superficie sea cual sea el radio, mientras que el área crece con el cuadrado del radio.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"A":1.2,"B":1.1,"C":1,"R":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess", {
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headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
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"B": 1.1,
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"R": 1
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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"A": 1.2,
"B": 1.1,
"C": 1,
"R": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"A":1.2,"B":1.1,"C":1,"R":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"A":1.2,"B":1.1,"C":1,"R":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"A": 1.2,
"B": 1.1,
"C": 1,
"R": 1
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.spherical_excess",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Teorema de Girard: E = A + B + C − π
Los ángulos pueden darse en radianes (el valor por defecto) o en grados fijando angle_unit en "deg", en cuyo caso cada uno se convierte con x·π/180 antes de formar el exceso.
Salidas de área y fracción de esfera
También reporta sphere_fraction = E / (4π), la porción de la superficie esférica total (cuyo ángulo sólido es 4π estereorradianes) que cubre el triángulo. El ejemplo incluido usa A = 1.2, B = 1.1, C = 1 radianes con R = 1 y devuelve exceso 0.158407 rad, 9.076072°, área 0.158407 y sphere_fraction 0.012606.
Validación y las restricciones físicas que impone
A, B y C deben ser números finitos, y tras cualquier conversión de grados a radianes cada uno debe quedar estrictamente entre 0 y π; un ángulo de 0 o π o más allá no delimita un triángulo esférico propio y devuelve un error tipado invalid_input que dice "ángulos fuera de rango". El radio R debe ser un número finito positivo, angle_unit debe ser exactamente "rad" o "deg", y decimals debe ser un entero de 0 a 10.
Preguntas técnicas
¿Puedo introducir los ángulos en grados?
Sí. Fije angle_unit en "deg" y A, B y C se convierten con x·π/180 antes de calcular el exceso; la unidad por defecto son radianes.
¿Por qué recibí un error invalid_input?
Cada ángulo debe quedar estrictamente entre 0 y π tras la conversión, R debe ser positivo y el exceso debe ser positivo; de lo contrario el triángulo no es válido.
¿Es gratis y cómo lo automatizo?
El widget tier A corre gratis en su navegador; la API determinista devuelve el mismo JSON para trabajos de geodesia por lotes desde $0.002 por llamada.