Calcolatore dell'eccesso sferico
Inserisca i tre angoli di un triangolo sferico e ottenga eccesso, area e parte della sfera coperta: angoli di 1,2, 1,1 e 1 radianti su una sfera di raggio 1 danno un eccesso di 0,158407 rad, cioè 9,076072°. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- A
- 1,2
- B
- 1,1
- C
- 1
- Raggio della sfera (R)
- 1
- Eccesso sferico (radianti)
- 0,158407
- Eccesso sferico (gradi)
- 9,076072
- Area
- 0,158407
- Frazione della superficie sferica
- 0,012606
Calcola l'eccesso sferico di un triangolo sferico a partire dai suoi tre angoli interni A, B e C. Restituisce l'eccesso in radianti e in gradi, l'area del triangolo su una sfera di raggio R e la frazione dell'intera sfera che esso ricopre.
Il teorema di Girard: E = A + B + C − π
Su una sfera gli angoli di un triangolo sommano a più di π radianti, e la misura in cui lo superano è l'eccesso sferico, E = A + B + C − π. Questo è il teorema di Girard, ed è l'identità centrale che questa capacità valuta. Passa i tre angoli interni A, B e C insieme al raggio R della sfera.
A differenza di un triangolo piano, in cui gli angoli sommano sempre esattamente a π e non portano informazioni sull'area, l'eccesso di un triangolo sferico è direttamente proporzionale alla superficie che racchiude, motivo per cui una singola sottrazione cattura l'intero risultato.
Output di area e frazione di sfera
Dall'eccesso lo strumento deriva due ulteriori grandezze. L'area del triangolo su una sfera di raggio R è area = R² · E, quindi l'eccesso in radianti è letteralmente l'area su una sfera unitaria. Vengono restituiti sia l'eccesso in radianti sia l'eccesso in gradi (E·180/π) così può leggere il risultato nell'unità che preferisce.
Ogni campo è arrotondato half-up ai decimals richiesti, con valore predefinito di sei cifre.
Validazione e i vincoli fisici che impone
Gli input sono validati rispetto alla geometria, non solo rispetto al loro tipo. È fondamentale che l'eccesso sia strettamente positivo: se A + B + C non supera π il triangolo è degenere o planare e lo strumento lo respinge con "exceso no positivo" anziché riportare un'area nulla o negativa. Questi controlli rendono ogni area restituita fisicamente significativa.
Casi d'uso
Geodesia e cartografia
Trasformi gli angoli misurati di un triangolo di rilievo sulla superficie terrestre nella sua area reale, correggendo la curvatura che la trigonometria piana ignora su lunghe basi.
GIS e area di poligoni sferici
Scomponga una regione in triangoli sferici e sommi le loro aree derivate dall'eccesso per calcolare aree di terra, oceano o copertura su un globo di raggio R scelto.
Didattica di navigazione e astronomia
Illustri il teorema di Girard con numeri riproducibili, mostrando come lo scostamento della somma degli angoli da π si traduca direttamente in area e nella frazione di sfera racchiusa.
Domande frequenti
Che cos'è l'eccesso sferico?
È la misura di quanto gli angoli interni di un triangolo sferico superano π radianti: E = A + B + C − π, per il teorema di Girard.
Come si calcola l'area?
area = R² · E, dove E è l'eccesso in radianti.
Posso inserire gli angoli in gradi?
Sì. I radianti sono l'impostazione predefinita, ma può scegliere i gradi e ogni angolo viene moltiplicato per π/180 prima di calcolare l'eccesso. L'eccesso viene sempre restituito sia in radianti sia in gradi.
Perché il mio triangolo sferico viene rifiutato?
Ogni angolo deve stare strettamente tra 0 e π, cioè tra 0° e 180°, e la loro somma deve superare π. Altrimenti il triangolo è piatto o degenere e non ha un'area positiva da mostrare.
Quale parte della sfera copre il triangolo?
L'eccesso diviso per 4π, l'angolo solido dell'intera sfera. Con angoli di 1,2, 1,1 e 1 radianti il triangolo copre 0,012606 della superficie qualunque sia il raggio, mentre l'area cresce con il quadrato del raggio.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"A":1.2,"B":1.1,"C":1,"R":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess", {
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"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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"B": 1.1,
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"R": 1
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
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headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"A": 1.2,
"B": 1.1,
"C": 1,
"R": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"A":1.2,"B":1.1,"C":1,"R":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"A":1.2,"B":1.1,"C":1,"R":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"A": 1.2,
"B": 1.1,
"C": 1,
"R": 1
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.spherical_excess",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Il teorema di Girard: E = A + B + C − π
Gli angoli possono essere forniti in radianti (l'impostazione predefinita) o in gradi impostando angle_unit su "deg", nel qual caso ciascuno viene convertito con x·π/180 prima di formare l'eccesso.
Output di area e frazione di sfera
Riporta inoltre sphere_fraction = E / (4π), la quota della superficie sferica totale (il cui angolo solido è 4π steradianti) che il triangolo ricopre. L'esempio fornito usa A = 1,2, B = 1,1, C = 1 radianti con R = 1 e restituisce eccesso 0,158407 rad, 9,076072°, area 0,158407 e sphere_fraction 0,012606.
Validazione e i vincoli fisici che impone
A, B e C devono essere numeri finiti e, dopo l'eventuale conversione da gradi a radianti, ciascuno deve trovarsi strettamente tra 0 e π; un angolo di 0 o π oppure oltre non delimita un vero triangolo sferico e restituisce un errore tipizzato invalid_input che recita "ángulos fuera de rango". Il raggio R deve essere un numero finito positivo, angle_unit deve essere esattamente "rad" o "deg" e decimals deve essere un intero da 0 a 10.
Domande tecniche
Posso inserire gli angoli in gradi?
Sì. Imposti angle_unit su "deg" e A, B e C vengono convertiti con x·π/180 prima di calcolare l'eccesso; l'unità predefinita è il radiante.
Perché ho ricevuto un errore invalid_input?
Ogni angolo deve essere strettamente tra 0 e π dopo la conversione, R deve essere positivo e l'eccesso deve essere positivo; altrimenti il triangolo non è valido.
È gratuito e come lo automatizzo?
Il widget del tier A gira gratis nel suo browser; l'API deterministica restituisce lo stesso JSON per lavori di geodesia in blocco a partire da $0.002 per chiamata.