Calculateur d'excès sphérique
Saisissez les trois angles d'un triangle sphérique et obtenez son excès, son aire et la part de la sphère qu'il couvre : des angles de 1,2, 1,1 et 1 radian sur une sphère de rayon 1 donnent un excès de 0,158407 rad, soit 9,076072°. Gratuit dans votre navigateur.
- Gratuit
- Fonctionne dans votre navigateur
- Sans inscription
- Vos données restent sur votre appareil
Lancer gratuitement
Exemple résolu
- A
- 1,2
- B
- 1,1
- C
- 1
- Rayon de la sphère (R)
- 1
- Excès sphérique (radians)
- 0,158407
- Excès sphérique (degrés)
- 9,076072
- Aire
- 0,158407
- Fraction de la surface sphérique
- 0,012606
Calcule l'excès sphérique d'un triangle sphérique à partir de ses trois angles intérieurs A, B et C. Renvoie l'excès en radians et en degrés, l'aire du triangle sur une sphère de rayon R, ainsi que la fraction de la sphère entière qu'il couvre.
Le théorème de Girard : E = A + B + C − π
Sur une sphère, la somme des angles d'un triangle dépasse π radians, et l'écart par lequel elle le dépasse est l'excès sphérique, E = A + B + C − π. C'est le théorème de Girard, l'identité fondamentale qu'évalue cette capacité. Vous transmettez les trois angles intérieurs A, B et C ainsi que le rayon R de la sphère.
Contrairement au triangle plan, dont les angles totalisent toujours exactement π et ne portent aucune information d'aire, l'excès d'un triangle sphérique est directement proportionnel à la surface qu'il enferme : c'est pourquoi une simple soustraction restitue tout le résultat.
Sorties : aire et fraction de sphère
À partir de l'excès, l'outil déduit deux autres quantités. L'aire du triangle sur une sphère de rayon R vaut area = R² · E, si bien que l'excès en radians est littéralement l'aire sur une sphère unité. L'excès en radians et l'excès en degrés (E·180/π) sont tous deux renvoyés pour que vous puissiez lire le résultat dans l'unité qui vous convient.
Chaque champ est arrondi half-up au nombre de décimales demandé, six par défaut.
Validation et contraintes physiques imposées
Les entrées sont validées au regard de la géométrie, pas seulement de leur type. Point crucial, l'excès doit être strictement positif : si A + B + C ne dépasse pas π, le triangle est dégénéré ou plan et l'outil le rejette avec "exceso no positivo" au lieu d'annoncer une aire nulle ou négative. Ces contrôles rendent chaque aire renvoyée physiquement significative.
Cas d’usage
Géodésie et cartographie
Transformez les angles mesurés d'un triangle de levé à la surface de la Terre en son aire réelle, en corrigeant la courbure que la trigonométrie plane néglige sur de longues bases.
SIG et aire de polygone sphérique
Décomposez une région en triangles sphériques et sommez leurs aires déduites de l'excès pour calculer des surfaces de terre, d'océan ou de couverture sur un globe d'un rayon R choisi.
Enseignement de la navigation et de l'astronomie
Illustrez le théorème de Girard avec des nombres reproductibles, en montrant comment l'écart de la somme des angles à π se traduit directement en aire et en fraction de sphère enfermée.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que l'excès sphérique ?
C'est l'écart par lequel la somme des angles intérieurs d'un triangle sphérique dépasse π radians : E = A + B + C − π, d'après le théorème de Girard.
Comment l'aire est-elle calculée ?
area = R² · E, où E est l'excès en radians.
Puis-je saisir les angles en degrés ?
Oui. Les radians sont l'option par défaut, mais vous pouvez choisir les degrés : chaque angle est alors multiplié par π/180 avant le calcul de l'excès. L'excès est toujours rendu en radians et en degrés.
Pourquoi mon triangle sphérique est-il refusé ?
Chaque angle doit être strictement compris entre 0 et π, c'est-à-dire entre 0° et 180°, et leur somme doit dépasser π. Sinon, le triangle est plat ou dégénéré et n'a pas d'aire positive à afficher.
Quelle part de la sphère le triangle couvre-t-il ?
L'excès divisé par 4π, l'angle solide de la sphère entière. Avec des angles de 1,2, 1,1 et 1 radian, le triangle couvre 0,012606 de la surface quel que soit le rayon, alors que l'aire croît avec le carré du rayon.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"A":1.2,"B":1.1,"C":1,"R":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"A": 1.2,
"B": 1.1,
"C": 1,
"R": 1
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"A": 1.2,
"B": 1.1,
"C": 1,
"R": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"A":1.2,"B":1.1,"C":1,"R":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"A":1.2,"B":1.1,"C":1,"R":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"A": 1.2,
"B": 1.1,
"C": 1,
"R": 1
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.spherical_excess",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Le théorème de Girard : E = A + B + C − π
Les angles peuvent être exprimés en radians (valeur par défaut) ou en degrés en fixant angle_unit à "deg", auquel cas chacun est converti par x·π/180 avant le calcul de l'excès.
Sorties : aire et fraction de sphère
Il indique également sphere_fraction = E / (4π), la part de la surface sphérique totale (dont l'angle solide est de 4π stéradians) que le triangle couvre. L'exemple fourni utilise A = 1,2, B = 1,1, C = 1 radians avec R = 1 et renvoie un excès de 0,158407 rad, 9,076072°, une aire de 0,158407 et sphere_fraction de 0,012606.
Validation et contraintes physiques imposées
A, B et C doivent être des nombres finis et, après toute conversion des degrés en radians, chacun doit être strictement compris entre 0 et π ; un angle de 0, de π ou au-delà ne borne pas un véritable triangle sphérique et renvoie une erreur typée invalid_input dont le message est "ángulos fuera de rango". Le rayon R doit être un nombre fini positif, angle_unit doit valoir exactement "rad" ou "deg", et decimals doit être un entier de 0 à 10.
Questions techniques
Puis-je saisir les angles en degrés ?
Oui. Fixez angle_unit à "deg" et A, B et C sont convertis par x·π/180 avant le calcul de l'excès ; l'unité par défaut est le radian.
Pourquoi ai-je obtenu une erreur invalid_input ?
Chaque angle doit être strictement compris entre 0 et π après conversion, R doit être positif, et l'excès doit être positif ; sinon le triangle est invalide.
Est-ce gratuit et comment l'automatiser ?
Le widget tier A s'exécute gratuitement dans votre navigateur ; l'API déterministe renvoie le même JSON pour vos traitements géodésiques par lots à partir de $0.002 par appel.