Calculadora de excesso esférico
Digite os três ângulos de um triângulo esférico e receba o excesso, a área e a parte da esfera que ele cobre: ângulos de 1,2, 1,1 e 1 radianos numa esfera de raio 1 dão um excesso de 0,158407 rad, ou 9,076072°. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 1,2
- B
- 1,1
- C
- 1
- Raio da esfera (R)
- 1
- Excesso esférico (radianos)
- 0,158407
- Excesso esférico (graus)
- 9,076072
- Área
- 0,158407
- Fração da superfície esférica
- 0,012606
Calcula o excesso esférico de um triângulo esférico a partir dos seus três ângulos internos A, B e C. Retorna o excesso em radianos e graus, a área do triângulo em uma esfera de raio R e a fração da esfera inteira que ele cobre.
Teorema de Girard: E = A + B + C − π
Em uma esfera, os ângulos de um triângulo somam mais que π radianos, e a quantidade pela qual eles excedem esse valor é o excesso esférico, E = A + B + C − π. Este é o teorema de Girard, e é a identidade central que esta capacidade avalia. Você passa os três ângulos internos A, B e C junto com o raio da esfera R.
Diferentemente de um triângulo plano, no qual os ângulos sempre totalizam exatamente π e não carregam informação de área, o excesso de um triângulo esférico é diretamente proporcional a quanta superfície ele encerra, e é por isso que uma única subtração captura todo o resultado.
Saídas de área e fração da esfera
A partir do excesso, a ferramenta deriva duas grandezas adicionais. A área do triângulo em uma esfera de raio R é area = R² · E, então o excesso em radianos é literalmente a área em uma esfera unitária. Tanto o excesso em radianos quanto o excesso em graus (E·180/π) são retornados para que você possa ler o resultado na unidade que preferir.
Todo campo é arredondado half-up para as casas decimais que você solicitar, com padrão de seis casas.
Validação e as restrições físicas que ela impõe
As entradas são validadas contra a geometria, não apenas contra seus tipos. Crucialmente, o excesso deve ser estritamente positivo: se A + B + C não exceder π, o triângulo é degenerado ou planar e a ferramenta o rejeita com "exceso no positivo" em vez de informar uma área zero ou negativa. Essas verificações tornam toda área retornada fisicamente significativa.
Casos de uso
Geodésia e mapeamento
Converta os ângulos medidos de um triângulo de levantamento na superfície da Terra em sua área real, corrigindo a curvatura que a trigonometria plana ignora em linhas de base longas.
SIG e área de polígono esférico
Decomponha uma região em triângulos esféricos e some suas áreas derivadas do excesso para calcular áreas de terra, oceano ou cobertura em um globo de raio R escolhido.
Ensino de navegação e astronomia
Ilustre o teorema de Girard com números reproduzíveis, mostrando como o desvio da soma dos ângulos em relação a π se mapeia diretamente na área e na fração da esfera encerrada.
Perguntas frequentes
O que é o excesso esférico?
É a quantidade pela qual os ângulos internos de um triângulo esférico excedem π radianos: E = A + B + C − π, pelo teorema de Girard.
Como a área é calculada?
area = R² · E, onde E é o excesso em radianos.
Posso digitar os ângulos em graus?
Sim. O padrão é radianos, mas você pode escolher graus e cada ângulo é multiplicado por π/180 antes de calcular o excesso. O excesso sempre volta em radianos e em graus.
Por que meu triângulo esférico é recusado?
Cada ângulo precisa ficar estritamente entre 0 e π, ou seja, entre 0° e 180°, e os três precisam somar mais que π. Caso contrário, o triângulo é plano ou degenerado e não tem área positiva para mostrar.
Que parte da esfera o triângulo cobre?
O excesso dividido por 4π, o ângulo sólido da esfera inteira. Com ângulos de 1,2, 1,1 e 1 radianos o triângulo cobre 0,012606 da superfície, qualquer que seja o raio, enquanto a área cresce com o quadrado do raio.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"A":1.2,"B":1.1,"C":1,"R":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"A": 1.2,
"B": 1.1,
"C": 1,
"R": 1
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"A": 1.2,
"B": 1.1,
"C": 1,
"R": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"A":1.2,"B":1.1,"C":1,"R":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"A":1.2,"B":1.1,"C":1,"R":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/spherical-excess", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"A": 1.2,
"B": 1.1,
"C": 1,
"R": 1
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.spherical_excess",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Teorema de Girard: E = A + B + C − π
Os ângulos podem ser dados em radianos (o padrão) ou em graus definindo angle_unit como "deg", caso em que cada um é convertido com x·π/180 antes de o excesso ser formado.
Saídas de área e fração da esfera
Ela também informa sphere_fraction = E / (4π), a parcela da superfície esférica total (cujo ângulo sólido é 4π esferorradianos) que o triângulo cobre. O exemplo fornecido usa A = 1.2, B = 1.1, C = 1 radianos com R = 1 e retorna excesso 0.158407 rad, 9.076072°, área 0.158407 e sphere_fraction 0.012606.
Validação e as restrições físicas que ela impõe
A, B e C devem ser números finitos, e após qualquer conversão de graus para radianos cada um deve estar estritamente entre 0 e π; um ângulo de 0 ou π ou além disso não delimita um triângulo esférico próprio e retorna um erro tipado invalid_input com a mensagem "ángulos fuera de rango". O raio R deve ser um número finito positivo, angle_unit deve ser exatamente "rad" ou "deg", e decimals deve ser um inteiro de 0 a 10.
Perguntas técnicas
Posso inserir os ângulos em graus?
Sim. Defina angle_unit como "deg" e A, B e C são convertidos com x·π/180 antes de o excesso ser calculado; a unidade padrão é radianos.
Por que recebi um erro invalid_input?
Cada ângulo deve estar estritamente entre 0 e π após a conversão, R deve ser positivo e o excesso deve ser positivo; caso contrário o triângulo é inválido.
É grátis e como faço para automatizar?
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