Implizite Ableitung einer Ellipse berechnen
Ermitteln Sie die Tangentensteigung einer Ellipse in einem ihrer Punkte: Mit den Halbachsen 5 und 3 und dem Punkt mit den Koordinaten 4 und 1,8 liefert die implizite Ableitung die Steigung −0,8 und die Tangente y − 1,8 = −0,8(x − 4). Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Halbachse x
- 5
- Halbachse y
- 3
- X
- 4
- Y
- 1,8
- Ellipsengleichung
- (x - 0)^2 / 25 + (y - 0)^2 / 9 = 1
- Ableitungsformel
- dy/dx = -9(x - 0) / (25(y - 0))
- Tangententyp
- finite
- Steigung
- -0,8
Dieser Rechner leitet die achsenparallele Standardellipse (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 implizit ab und wertet das Ergebnis an einem Kurvenpunkt aus. Geben Sie die beiden positiven Halbachsen, die Punktkoordinaten und optional den Mittelpunkt ein. Ausgegeben werden Ellipsengleichung, Formel für dy/dx, Tangentenart sowie entweder eine numerische Steigung mit Punkt-Steigungs-Gleichung oder eine vertikale Gerade. Vor der Berechnung wird geprüft, ob der Punkt wirklich auf der Ellipse liegt.
Beschreiben Sie Ellipse und Punkt
Geben Sie danach x und y des gewünschten Punktes an. Unterstützt wird (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 mit parallelen Koordinatenachsen. Der Rechner setzt den Punkt ein und verlangt innerhalb einer kleinen numerischen Toleranz den Wert eins.
Nur ein Kurvenpunkt kann eine Tangente festlegen. Gedrehte Ellipsen und Gleichungen mit xy-Term werden nicht unterstützt.
Verfolgen Sie die implizite Ableitung
Leiten Sie (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 nach x ab. Der erste Term wird zu 2(x − h)/a². Weil y von x abhängt, liefert die Kettenregel beim zweiten Term 2(y − k)(dy/dx)/b²; die Konstante ergibt null.
Kürzen Sie zwei, verschieben Sie den x-Term und lösen Sie nach dy/dx auf. Es folgt dy/dx = −b²(x − h) geteilt durch a²(y − k). Die Tangente erscheint in Punkt-Steigungs-Form und lässt sich bei Bedarf umformen.
Formel und Zahlenwert nebeneinander erleichtern die Kontrolle von Vorzeichen, Quadraten, Mittelpunktverschiebung und Kettenregel.
Deuten Sie endliche, waagerechte und senkrechte Tangenten
Meist entstehen eine endliche Steigung und eine Punkt-Steigungs-Gerade. Am linken oder rechten Rand gilt y = k, der Nenner ist null und die Tangente ist senkrecht. Ein gewöhnlicher Zahlenwert für dy/dx existiert dort nicht.
Die Punktprüfung nutzt die dimensionslose Toleranz 1e-9, projiziert aber keine Näherungspunkte und korrigiert keine Messungen. Überläufe endlicher Arithmetik werden abgewiesen. Ohne Netzwerk, Zufall, gespeicherten Zustand oder Uhr liefert dieselbe Eingabe stets dasselbe strukturierte Ergebnis.
Anwendungsfälle
Aufgabe zur impliziten Ableitung prüfen
Vergleichen Sie Ihre Formel und Steigung mit einer deterministischen Berechnung samt Punktprüfung.
Tangente aufstellen
Erhalten Sie sofort die Punkt-Steigungs-Form oder am Rand die korrekte senkrechte Gerade.
Verlässliche Analysisbeispiele erzeugen
Erstellen Sie strukturierte Ergebnisse für Arbeitsblätter, Tests oder Lernsoftware.
Häufige Fragen
Welche Ellipsengleichung wird verwendet?
Verwendet wird (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 mit positiven Halbachsen a und b sowie Mittelpunkt (h, k).
Wie lautet die implizite Ableitung?
Sie lautet dy/dx = −b²(x − h) / [a²(y − k)].
Warum muss der Punkt auf der Ellipse liegen?
Eine Tangentensteigung gehört zu einem Kurvenpunkt; andere Koordinaten beschreiben keine Tangente dieser Ellipse.
Was geschieht bei einer senkrechten Tangente?
Die numerische Steigung ist undefiniert, wird ausgelassen und durch die passende senkrechte Gerade x ersetzt.
Gebe ich die volle Breite und Höhe der Ellipse ein?
Nein. Geben Sie die Halbachsen ein, also jeweils die Hälfte. Eine Ellipse, die zehn Einheiten breit und sechs hoch ist, hat die Halbachsen 5 und 3. Mit Breite und Höhe beschrieben Sie eine andere, größere Ellipse.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/implicit-derivative-ellipse \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"semi_axis_x":5,"semi_axis_y":3,"x":4,"y":1.8}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/implicit-derivative-ellipse", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"semi_axis_x": 5,
"semi_axis_y": 3,
"x": 4,
"y": 1.8
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/implicit-derivative-ellipse",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"semi_axis_x": 5,
"semi_axis_y": 3,
"x": 4,
"y": 1.8
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/implicit-derivative-ellipse", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"semi_axis_x":5,"semi_axis_y":3,"x":4,"y":1.8}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"semi_axis_x":5,"semi_axis_y":3,"x":4,"y":1.8}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/implicit-derivative-ellipse", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"semi_axis_x": 5,
"semi_axis_y": 3,
"x": 4,
"y": 1.8
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.implicit_derivative_ellipse",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Beschreiben Sie Ellipse und Punkt
Verwenden Sie semi_axis_x für die horizontale Halbachse a und semi_axis_y für die vertikale Halbachse b. Beide Längen müssen positive endliche Zahlen sein. center_x und center_y stehen optional für h und k; ohne Angabe gilt jeweils null. Tragen Sie Halbachsen statt Gesamtbreite und -höhe ein: Bei zehn Einheiten Breite und sechs Einheiten Höhe gilt a = 5 und b = 3.
Verfolgen Sie die implizite Ableitung
Die Ausgabe zeigt diese Form in derivative_formula und berechnet durch Einsetzen slope. Für a = 5, b = 3, Mittelpunkt (0, 0) und Punkt (4, 1.8) ist die Steigung −0.8.
Deuten Sie endliche, waagerechte und senkrechte Tangenten
Für x = h ist der Zähler null; sofern y nicht k entspricht, ist die Tangente waagerecht und tangent_type kennzeichnet sie. Deshalb fehlt slope, und es wird etwa x = 5 ausgegeben. Das ist sicherer als null, Unendlich oder eine irreführend große Näherung.
Technische Fragen
Was kostet eine API-Berechnung?
Jede API-Anfrage kostet $0.002. Der Browser-Rechner kann direkt interaktiv genutzt werden.