Calcolatore della derivata implicita dell'ellisse
Ottenga la pendenza della tangente a un’ellisse in uno dei suoi punti: con semiassi 5 e 3 e il punto di coordinate 4 e 1,8, la derivata implicita dà pendenza −0,8 e la tangente y − 1,8 = −0,8(x − 4). Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Semiasse x
- 5
- Semiasse y
- 3
- X
- 4
- Y
- 1,8
- Equazione dell'ellisse
- (x - 0)^2 / 25 + (y - 0)^2 / 9 = 1
- Formula della derivata
- dy/dx = -9(x - 0) / (25(y - 0))
- Tipo di tangente
- finite
- Pendenza
- -0,8
Questo calcolatore della derivata implicita dell’ellisse deriva l’equazione standard (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 e valuta il risultato in un punto della curva. Inserisca i due semiassi positivi, le coordinate del punto e, se necessario, il centro. Il risultato comprende equazione, formula di dy/dx, classificazione della tangente e una pendenza numerica con retta in forma punto-pendenza, oppure una retta verticale. Il punto viene verificato prima di mostrare la pendenza, evitando risposte plausibili ma non valide.
Descriva l’ellisse e il punto
Essendo lunghezze, devono essere numeri finiti positivi. Indichi quindi le coordinate x e y del punto. L’equazione supportata è (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1, con assi paralleli a quelli cartesiani.
Il calcolatore sostituisce il punto nell’equazione normalizzata e richiede un risultato uguale a uno entro una piccola tolleranza numerica. La verifica è necessaria perché la formula descrive pendenze solo sulla curva. Ellissi ruotate ed equazioni con un termine xy non rientrano nel modello.
Segua la derivazione implicita
Parta da (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 e derivi entrambi i membri rispetto a x. Il primo termine diventa 2(x − h)/a². Poiché y dipende da x, la regola della catena trasforma il secondo in 2(y − k)(dy/dx)/b².
La derivata della costante è zero. Elimini il fattore comune due, sposti il termine in x e isoli dy/dx: dy/dx = −b²(x − h) diviso per a²(y − k). La retta restituita usa la forma punto-pendenza e può essere convertita in altre forme.
Formula e valore affiancati facilitano il controllo di segni, quadrati, traslazioni del centro e regola della catena.
Interpreti tangenti finite, orizzontali e verticali
Quasi tutti i punti validi producono una pendenza finita e una retta in forma punto-pendenza. Agli estremi sinistro e destro, y = k e il denominatore è zero. La tangente è verticale e dy/dx non possiede un normale valore numerico.
L’omissione è più sicura di null, infinito o un’approssimazione enorme. Il punto viene controllato con una tolleranza adimensionale di 1e-9, senza proiettare punti approssimativi né correggere misure incoerenti. Sono respinti anche valori che superano l’aritmetica finita.
L’algoritmo non usa rete, casualità, stato salvato o orologio, quindi input uguali producono sempre lo stesso risultato strutturato.
Casi d'uso
Controllare un esercizio di derivazione implicita
Confronti la formula di dy/dx e la pendenza calcolate a mano con un risultato deterministico che verifica anche il punto.
Costruire la retta tangente
Ottenga subito la forma punto-pendenza, compresa la retta verticale corretta a un estremo.
Creare esempi affidabili
Produca risultati strutturati per schede, verifiche o software didattici.
Domande frequenti
Quale equazione usa il calcolatore?
Usa (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1, dove a e b sono semiassi positivi e (h, k) è il centro.
Qual è la derivata implicita dell’ellisse?
La derivata è dy/dx = −b²(x − h) / [a²(y − k)].
Perché il punto deve appartenere all’ellisse?
La pendenza tangente appartiene alla curva; un’altra coordinata non descriverebbe una sua tangente.
Che cosa accade con una tangente verticale?
La pendenza numerica è indefinita: viene omessa, la tangente è classificata verticale e viene restituita la retta x corrispondente.
Devo inserire larghezza e altezza complete dell’ellisse?
No. Inserisca i semiassi, cioè la metà di ciascuna misura. Un’ellisse larga dieci unità e alta sei ha semiassi 5 e 3. Con le misure complete descriverebbe un’altra ellisse, più grande.
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Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/implicit-derivative-ellipse \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"semi_axis_x":5,"semi_axis_y":3,"x":4,"y":1.8}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/implicit-derivative-ellipse", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"semi_axis_x": 5,
"semi_axis_y": 3,
"x": 4,
"y": 1.8
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/implicit-derivative-ellipse",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"semi_axis_x": 5,
"semi_axis_y": 3,
"x": 4,
"y": 1.8
},
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/implicit-derivative-ellipse", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"semi_axis_x":5,"semi_axis_y":3,"x":4,"y":1.8}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"semi_axis_x":5,"semi_axis_y":3,"x":4,"y":1.8}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/implicit-derivative-ellipse", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"semi_axis_x": 5,
"semi_axis_y": 3,
"x": 4,
"y": 1.8
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.implicit_derivative_ellipse",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Descriva l’ellisse e il punto
Usi semi_axis_x per il semiasse orizzontale a e semi_axis_y per quello verticale b. I campi facoltativi center_x e center_y rappresentano h e k e valgono zero per impostazione predefinita. Inserisca i semiassi, non larghezza e altezza complete: un’ellisse larga dieci unità e alta sei ha a = 5 e b = 3.
Segua la derivazione implicita
L’output conserva questa struttura in derivative_formula e sostituisce le coordinate per calcolare slope. Con a = 5, b = 3, centro (0, 0) e punto (4, 1.8), la pendenza è −0.8.
Interpreti tangenti finite, orizzontali e verticali
Quando x = h, il numeratore è zero; se y è diverso da k, la tangente è orizzontale e tangent_type lo segnala. L’output omette quindi slope e restituisce una retta come x = 5.
Domande tecniche
Quanto costa un calcolo tramite API?
Ogni richiesta API costa $0.002. Il calcolatore nel browser resta disponibile per l’uso interattivo.