Rechner für die Gesamtenergie einer Kreisbahn

Dieser Rechner ermittelt die Summe aus kinetischer und gravitativer potenzieller Energie eines Satelliten auf einer Kreisbahn. Geben Sie die Masse des Zentralkörpers, die Satellitenmasse und den vom Mittelpunkt des Zentralkörpers gemessenen Bahnradius ein.

Bedeutung der mechanischen Gesamtenergie einer Kreisbahn

Ein Satellit besitzt aufgrund seiner Bewegung positive kinetische Energie und wegen seiner Bindung an den Zentralkörper negative gravitative potenzielle Energie. Auf einer Kreisbahn liefert die Gravitation genau die Zentripetalkraft, die den Satelliten auf einem konstanten Radius hält. Dabei bezeichnet G die Gravitationskonstante, M die Masse des Zentralkörpers, m die Satellitenmasse und r den Abstand vom Mittelpunkt des Zentralkörpers zum Satelliten.

Für alle gültigen positiven Eingaben ist das Ergebnis negativ. Dieses Vorzeichen besitzt eine physikalische Bedeutung: Dem Objekt fehlt die mechanische Energie, um das Unendliche zu erreichen. Ein stärker negativer Betrag kennzeichnet eine festere Bindung.

Wird derselbe Satellit auf eine größere Kreisbahn gebracht, nähert sich seine Energie null; wächst eine der Massen, nimmt der Betrag zu. Der Rechner liefert Joule, wenn Sie Massen in Kilogramm und den Radius in Metern angeben und für G den voreingestellten SI-Wert verwenden.

Radius und Massen in konsistenten Einheiten eingeben

Verwenden Sie den Bahnradius und nicht lediglich die Höhe über der Oberfläche eines Planeten. Ist nur die Höhe bekannt, addieren Sie vor der Eingabe den mittleren Radius des Zentralkörpers. Diese Unterscheidung ist bei niedrigen Umlaufbahnen häufig die größte Fehlerquelle, da Höhe und Abstand zum Mittelpunkt um Tausende Kilometer voneinander abweichen können.

Geben Sie bei der voreingestellten Gravitationskonstante beide Massen in Kilogramm und den Radius in Metern ein; das Ergebnis wird in Joule ausgegeben. Sie dürfen eine andere positive Gravitationskonstante für ein intern konsistentes Einheitensystem oder eine Lehrbuchkonvention angeben, müssen dann jedoch sämtliche Eingaben diesem System anpassen. Beide Massen sowie der Radius müssen positiv und endlich sein.

Ein Radius von null erzeugt einen Eingabefehler, weil die Formel durch null teilen würde und der Mittelpunkt des Zentralkörpers keine Kreisbahn beschreibt. Diese Prüfungen verhindern scheinbar genaue, aber physikalisch sinnlose Ergebnisse.

Ergebnis deuten und Modellgrenzen berücksichtigen

Der ausgegebene Wert ist die mechanische Gesamtenergie des Satelliten gemäß der üblichen kreisförmigen Zweikörpernäherung, nicht nur seine gravitative potenzielle Energie. Auf einer Kreisbahn beträgt die potenzielle Energie -GMm/r, die kinetische Energie +GMm/(2r) und ihre Summe -GMm/(2r). Damit können Sie Übungsaufgaben prüfen, den idealen Energieunterschied zwischen Kreisbahnen abschätzen und Simulationsergebnisse validieren.

Berechnen Sie zum Vergleich zweier Bahnen beide Gesamtwerte und ziehen Sie den Anfangswert vom Endwert ab. Der Wechsel auf eine höhere Bahn verlangt gewöhnlich eine positive Energiezufuhr, da der Endwert näher an null liegt. Reale Missionen hängen zusätzlich von Transferbahnen, Antriebswirkungsgrad, Stufen, Luftwiderstand und Rotation des Zentralkörpers ab; die Differenz idealer Bahnenergien ist daher nicht unmittelbar der Treibstoffbedarf.

Das Modell setzt außerdem voraus, dass die zentrale Masse dominiert, die Bahn kreisförmig ist, die Körper punktförmig oder kugelsymmetrisch behandelt werden können und äußere Störungen vernachlässigbar sind. Für eine elliptische Bahn verwenden Sie die Energieformel mit der großen Halbachse, statt einen veränderlichen momentanen Radius in diese Kreisbahngleichung einzusetzen.