Ellipsensegment-Fläche

Ist die Sehne die vertikale Gerade x gleich cut_x auf der Standardellipse x im Quadrat über a im Quadrat plus y im Quadrat über b im Quadrat gleich eins, liefert eine geschlossene Identität die Fläche ohne numerische Integration. Diese Fähigkeit akzeptiert positive Halbachsen a und b sowie eine Schnittabszisse cut_x, die den Betrag von cut_x kleiner oder gleich a erfüllen muss, damit die Gerade die Ellipse tatsächlich schneidet. Schnitte streng außerhalb der Ellipse scheitern mit invalid_input. Die Antwort liefert segment_area als das kleinere Stück sowie area_right, area_left, total_area, Sehnenlänge und den normalisierten Schnitt u gleich cut_x über a.

Was ein elliptisches Segment ist und wie ein vertikaler Schnitt seine Fläche festlegt

In der euklidischen ebenen Geometrie wird eine achsparallele Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung durch zwei positive Halbachsen a längs x und b längs y festgelegt. Die linke Fläche ist die Gesamtfläche pi a b minus diese rechte Fläche. Das klassische Segment ist das kleinere der beiden Stücke: liegt der Schnitt nahe dem rechten Scheitel, ist die rechte Kappe das Segment; liegt der Schnitt links der Mitte, kann die linke Kappe kleiner sein. An den Scheiteln kollabiert das Segment auf Flächen null und die Sehne entartet zu einem Punkt. Suchintentionen bündeln sich um Ellipsensegmentfläche, elliptische Kappenfläche, Fläche einer Ellipse mit vertikalem Schnitt und Halbachsen-Sehnen-Rechner. Eine vertikale Sehne bei x gleich cut_x trifft die Kurve in zwei Punkten mit derselben Abszisse und entgegengesetzten Ordinaten y gleich plus oder minus b mal der Quadratwurzel aus eins minus u im Quadrat, wobei u cut_x geteilt durch a ist. Diese Sehne teilt die elliptische Scheibe in eine linke und eine rechte Region. Die Fläche der rechten Region — Punkte mit x größer oder gleich cut_x — folgt aus der Integration der vertikalen Sehnenlänge von cut_x bis a und wertet sich geschlossen aus zu a mal b mal der Größe arccos von u minus u mal der Quadratwurzel aus eins minus u im Quadrat. Bei cut_x gleich null teilen sich auf jeder Ellipse die beiden Hälften die Fläche pi a b durch zwei. Die Rückgabe von segment_area zusammen mit area_right, area_left, total_area, chord_half_height und chord_length erleichtert das Einfügen der Nutzlast in Notizen, den Diff in automatisierten Tests oder die Einspeisung in eine größere Pipeline, ohne arccos und die affine Streckung vom Einheitskreis in jeder Sprache neu zu implementieren, die Sie unterrichten oder ausrollen.

Wie dieser Rechner Eingaben prüft und die Segmentformel anwendet

Beide Halbachsen müssen streng positiv sein, groß genug für stabile Gleitkommaauswertung und unter einer großzügigen Obergrenze, damit extreme Produkte Zwischenwerte nicht überlaufen lassen. Die Sehnen-Halbhöhe ist b mal diese Wurzel und die Sehnenlänge das Doppelte der Halbhöhe. Senden Sie einen JSON-Körper mit drei erforderlichen numerischen Feldern: a, die positive Halbachse längs x; b, die positive Halbachse längs y; und cut_x, die Abszisse der vertikalen Schnittgeraden. Jedes Feld darf als JSON-Zahl oder als numerische Zeichenkette ankommen; fehlende Felder, leere Zeichenketten und nicht endliche Werte scheitern mit invalid_input unter Nennung des Feldes. Die Domänenregel für den Schnitt lautet Betrag von cut_x kleiner oder gleich a: jeder Schnitt mit Betrag streng größer als a liegt außerhalb der Ellipse und wird sofort mit einer Nachricht abgelehnt, die cut_x und a nennt, sodass Aufrufer nie ein stilles NaN aus arccos eines Arguments außerhalb des Bereichs erhalten. Die Gesamtfläche ist pi a b; area_left ist Gesamt minus area_right; segment_area ist das Minimum der beiden Kappen. Alle Gleitkommaergebnisse werden auf eine stabile Dezimalgenauigkeit gerundet, sodass dieselbe Eingabe über Laufzeiten hinweg dasselbe JSON liefert. Randfälle sind explizit: ein Kreis ist der Sonderfall a gleich b und stellt Halbscheiben- und Vollscheibengrenzen korrekt her; ein Schnitt an einem Scheitel liefert segment_area null mit entarteter Sehne; ein äußerer Schnitt scheitert, bevor irgendeine Fläche zurückgegeben wird.

Praktische Nutzung, Grenzen, Preise und Lieferkanäle

Nutzen Sie die API, wenn ein Skript, eine Lernplattform, ein CAD-Helfer oder ein Notizbuch stabiles JSON für viele Halbachsen- und Schnittpaare unter einem Vertrag braucht. Jede erfolgreiche Anfrage ist ein abrechenbares Element zu $0.002; Validierungsfehler werden nicht berechnet. Die Ergebnisse sind vollständig deterministisch: dieselben a, b und cut_x liefern stets dieselben Felder segment_area, Kappen und Sehne. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie das gerundete JSON in Tests und erhalten Sie reproduzierbare Segmentflächen ohne eigene symbolische Mathematik-Infrastruktur.