Cholesky-Zerlegung Rechner

Cholesky ist das Standardverfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, korrelierte Zufallsstichproben zu erzeugen und zu prüfen, ob eine Matrix überhaupt positiv definit ist — existiert die Zerlegung, ist die Matrix es per Konstruktion. Senden Sie Ihre Matrix als Array von Zeilen und erhalten Sie den Faktor, die gespiegelte Eingabe und das verwendete Verfahren in einem einzigen deterministischen Aufruf.

Was die Cholesky-Zerlegung Ihnen tatsächlich liefert

Jede symmetrische positiv definite Matrix A lässt sich als Produkt einer unteren Dreiecksmatrix mit ihrer eigenen Transponierten schreiben: A = L·Lᵀ. Dieser Faktor L ist so etwas wie die Quadratwurzel der Matrix — und sobald Sie ihn haben, werden mehrere teure Probleme billig. A·x = b zu lösen erfordert keine allgemeine Elimination mehr: Sie lösen L·y = b per Vorwärtssubstitution und dann Lᵀ·x = y per Rückwärtssubstitution, beide in quadratischer Zeit.

Die Matrix zu invertieren, ihre Determinante zu berechnen (das Produkt der quadrierten Diagonaleinträge von L) und Zufallsvektoren zu entkorrelieren oder zu korrelieren reduziert sich auf Operationen am Dreieck. Der Cholesky-Zerlegungsrechner liefert genau diesen Faktor: eine n×n untere Dreiecksmatrix mit positiven Einträgen auf der Diagonale und Nullen darüber. Da die Berechnung deterministische Gleitkommaarithmetik mit festem Runden ist, erzeugt dieselbe Eingabe stets eine Byte für Byte identische Ausgabe, was das Ergebnis sicher cache-, vergleich- und archivierbar macht.

Wie die Zerlegung berechnet und geprüft wird

Der Endpunkt führt den Cholesky-Banachiewicz-Algorithmus aus, ein zeilenweises Verfahren, das L direkt aus der Definition A = L·Lᵀ aufbaut. Für jede Diagonalposition nimmt er den entsprechenden Eintrag von A, subtrahiert die quadrierte Norm der bisher berechneten Faktorzeile und zieht die Quadratwurzel; für jede Position unter der Diagonale subtrahiert er das Skalarprodukt der beiden Teilzeilen und dividiert durch den bereits bekannten Diagonaleintrag. Diese eine Quadratwurzel ist zugleich der endgültige Positivitätstest: Der Radikand ist in jeder Zeile genau dann positiv, wenn die Matrix positiv definit ist.

Vor all dem wird die Eingabe validiert: Sie muss ein quadratisches Array mit höchstens 50 Zeilen sein, jeder Eintrag muss eine endliche Zahl innerhalb der deklarierten Größenobergrenze sein, und gespiegelte Einträge müssen innerhalb einer relativen Toleranz übereinstimmen, denn eine nicht symmetrische Matrix hat überhaupt keine Cholesky-Zerlegung.

Wo sie in der Praxis ihren Platz hat

Die beiden klassischen Heimaten von Cholesky sind Statistik und numerisches Rechnen. In der Statistik bedeutet das Ziehen von Stichproben aus einer multivariaten Normalverteilung mit Kovarianzmatrix Σ, einen Vektor unabhängiger Standardnormalen mit dem Cholesky-Faktor von Σ zu multiplizieren — Monte-Carlo-Engines tun dies millionenfach und brauchen den Faktor einmal, korrekt, im Voraus berechnet. Im numerischen Rechnen lösen Ausgleichsprobleme, Kalman-Filter und Innere-Punkte-Optimierer in jeder Iteration symmetrische positiv definite Systeme, und Cholesky ist etwa doppelt so schnell wie die allgemeine LU, weil es die Symmetrie ausnutzt und ohne Pivotisierung auskommt.