Brüche addieren

Neben dem vereinfachten Bruch erhalten Sie das Vorzeichen, die gemischte Schreibweise, wenn das Ergebnis keine ganze Zahl ist, und eine Dezimaldarstellung, sodass die Antwort direkt in die Hausaufgabenkontrolle, das Skalieren von Rezepten, Maßberechnungen oder jede Pipeline passt, die in Verhältnissen statt in Fließkommazahlen rechnet. Ein Nenner von null wird mit einer klaren Fehlermeldung abgelehnt, bevor irgendeine Rechnung stattfindet.

Warum man Brüche exakt addiert statt mit Dezimalzahlen

Dezimalarithmetik ist bequem, bis Präzision zählt. Ein Drittel ist nicht 0.333333; es ist exakt 1/3, und in dem Moment, in dem Sie runden, haben Sie einen Fehler eingeführt, der sich mit jeder weiteren Operation verstärkt. Direktes Arbeiten beim Addieren von Brüchen hält jeden Wert von Anfang bis Ende exakt: Der gemeinsame Nenner wird mit Ganzzahlarithmetik berechnet, die Zähler werden kombiniert, und erst ganz am Ende —wenn Sie es wünschen— entsteht eine Dezimalnäherung.

Diese Reihenfolge ist wichtig im Unterricht, wo ein Schüler, der 1/2 + 1/3 mit 5/6 vergleicht, die exakte Antwort braucht, und sie ist in Technik und Küche gleichermaßen wichtig, wo Mengen als Verhältnisse ganzer Zahlen ankommen und ihre Umwandlung in Fließkommazahlen nur zum Addieren Information wegwirft, die Sie kostenlos hatten. Dieser Endpunkt behandelt den Bruch als native Arbeitseinheit. Sie senden vier Ganzzahlen; Sie erhalten die exakte, gekürzte Summe mit dem Vorzeichen normalisiert auf dem Zähler, sodass nachgelagerter Code nie raten muss, wo das Minuszeichen steht.

Wie die Summe vereinfacht wird

Jedes Ergebnis durchläuft denselben Kürzungsprozess. Zuerst wird die Addition über einem gemeinsamen Nenner ausgeführt: Für A = a/b und B = c/d ist die Summe (a·d + c·b) / (b·d). Dann wird der größte gemeinsame Teiler des resultierenden Zählers und Nenners mit dem euklidischen Algorithmus berechnet und beide werden durch ihn geteilt, was garantiert, dass der Bruch vollständig gekürzt ist: 2/4 kommt als 1/2 zurück, niemals als 2/4.

Trägt der Nenner das Vorzeichen, wird es auf den Zähler verschoben, sodass −1/2 immer als Zähler −1, Nenner 2 gemeldet wird. Ist der gekürzte Nenner 1, ist das Ergebnis eine ganze Zahl und die Antwort sagt dies ausdrücklich, indem die Felder der gemischten Zahl weggelassen werden; andernfalls erhalten Sie zusätzlich den ganzzahligen Anteil und den verbleibenden echten Bruch, die Form, in der Rezepte und Tischlermaße üblicherweise angegeben werden. Das Dezimalfeld ist eine feste Darstellung mit sechs Stellen zur Anzeige, niemals zum Zurückspeisen in exakte Berechnungen.

All das ist reine Ganzzahlarithmetik: An keiner Stelle der Kürzung kommt Fließkommarechnung vor, die Antwort ist also deterministisch und bei jedem Aufruf identisch.