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Rayon de convergence à partir des coefficients

Si chaque coefficient vaut la moitié du précédent, chaque rapport entre voisins vaut 2 : le rayon de convergence est donc 2. Saisissez vos coefficients par puissances croissantes et voyez si les rapports se stabilisent. Gratuit dans votre navigateur.

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Exemple résolu

Si vous saisissez

Coefficients: 1, 0,5, 0,25, 0,125, 0,0625
Termes de queue: 3
Tolérance: 0,001

Vous obtenez

Rayon: 2
Rapports: 2, 2, 2, 2
Rapports de queue: 2, 2, 2
Dispersion relative: 0

Ce calculateur reçoit les coefficients d’une série entière par puissances croissantes et applique la limite des rapports absolus entre coefficients consécutifs. Il renvoie le rayon estimé, tous les rapports calculés, les valeurs finales retenues et un contrôle de stabilisation. Vous disposez ainsi d’un calcul rapide et d’éléments vérifiables. Le traitement est déterministe, n’utilise aucune donnée externe et accepte des coefficients non nuls positifs, négatifs ou alternés.

Déduisez le rayon d’une suite de coefficients

Le calculateur prend la valeur absolue du rapport de chaque paire voisine ; une alternance de signes ne modifie donc pas l’estimation. Il calcule ensuite la moyenne du nombre demandé de rapports situés en fin de suite. Cette moyenne finale sert d’estimation du rayon, car les coefficients tardifs renseignent généralement mieux sur le comportement limite.

Le centre c est inutile : une translation de la variable déplace l’intervalle de convergence sans changer son rayon. Fournissez assez de coefficients pour faire apparaître une tendance stable. Même si 3 valeurs suffisent techniquement à produire des rapports, une suite plus longue permet de juger bien plus sérieusement leur rapprochement vers une limite commune.

Examinez la stabilisation avant de retenir l’estimation

Une liste finie ne peut pas démontrer une limite portant sur une suite infinie ; le résultat ne se résume donc pas à un nombre. Si cette dispersion ne dépasse pas la tolérance choisie, stabilized vaut vrai. Il s’agit d’un diagnostic numérique, non d’un théorème : une suite évoluant lentement peut sembler stable sur quelques termes puis dériver, tandis qu’une suite réellement convergente peut demander beaucoup de termes avant de présenter une faible dispersion.

Une grande fenêtre exige l’accord de davantage de rapports ; une petite réagit plus vite au comportement récent. Si stabilized vaut faux, examinez les rapports, ajoutez des coefficients ou appliquez un autre critère plutôt que d’annoncer la moyenne finale comme un rayon exact établi.

Repérez les cas adaptés au critère du rapport

Le calculateur exige volontairement des coefficients finis et non nuls. Un dénominateur nul rend un rapport consécutif indéfini ; des zéros isolés ou récurrents peuvent imposer le critère de la racine, un raisonnement par sous-suite ou une reconnaissance algébrique de la série. Le rejet de ces entrées empêche un nombre apparemment ordinaire de masquer cette difficulté mathématique.

La méthode convient particulièrement aux coefficients de type géométrique, aux expressions factorielles évaluées numériquement et aux suites dont les rapports voisins tendent visiblement vers une constante positive. Si les rapports croissent sans borne, le rayon théorique peut être infini ; s’ils tendent vers zéro, il peut être nul. Un échantillon fini ne certifie toutefois aucun de ces comportements : l’outil fournit donc une estimation finie et expose les rapports.

Après avoir trouvé R, rappelez-vous que la convergence est absolue pour |x-c| inférieur à R et qu’il y a divergence pour |x-c| supérieur à R. Les extrémités x = c plus ou moins R doivent être étudiées séparément.

Cas d’usage

Vérifier un motif géométrique

Confirmez que des rapports consécutifs constants redonnent le rayon attendu et inspectez leur suite exacte.

Estimer une limite sur des coefficients tabulés

Utilisez les derniers rapports de coefficients calculés ou mesurés lorsqu’aucune formule symbolique n’est disponible.

Contrôler une solution de calcul

Comparez le rayon annoncé aux rapports et vérifiez si la partie finale disponible s’est réellement stabilisée.

Questions fréquentes

Pourquoi les coefficients négatifs sont-ils acceptés ?

La formule emploie des valeurs absolues ; les signes et leur alternance ne changent donc pas les grandeurs calculées.

Pourquoi les coefficients nuls sont-ils refusés ?

Un zéro peut rendre un rapport voisin indéfini. Le critère de la racine ou un raisonnement par sous-suite est alors souvent préférable.

La stabilisation prouve-t-elle le rayon ?

Non. Elle indique seulement que les rapports finaux respectent votre tolérance ; un échantillon fini ne prouve pas une limite infinie.

Le résultat tranche-t-il la convergence aux extrémités ?

Non. Vous devez remplacer x par chaque extrémité dans la série initiale et les étudier séparément.

Dois-je indiquer le centre de la série ?

Non. Déplacer le centre change la position de l’intervalle de convergence, mais pas son rayon. Saisissez uniquement les coefficients, en commençant par le terme constant puis en montant d’une puissance à la fois.

Outils associés

Pour les développeurs — accès API

Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/power-series-radius

Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.

Appeler depuis votre stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/power-series-radius \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"coefficients":[1,0.5,0.25,0.125,0.0625]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/power-series-radius", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "coefficients": [
      1,
      0.5,
      0.25,
      0.125,
      0.0625
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/power-series-radius",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "coefficients": [
        1,
        0.5,
        0.25,
        0.125,
        0.0625
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/power-series-radius", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"coefficients":[1,0.5,0.25,0.125,0.0625]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0.5,0.25,0.125,0.0625]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/power-series-radius", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemple de requête

{
  "coefficients": [
    1,
    0.5,
    0.25,
    0.125,
    0.0625
  ]
}

Exemple de réponse

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.power_series_radius",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.

Tarifs

par requête$0.002

Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.

Limites

max_items 10000

Erreurs

HTTP	Code	Signification
`401`	`unauthorized`	Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche.
`404`	`unknown_type`	Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête.
`429`	`rate_limited`	Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez.

Notes techniques

Déduisez le rayon d’une suite de coefficients

Pour une série entière écrite comme la somme de a_n multiplié par (x moins c) à la puissance n, la forme du critère du rapport fondée sur les coefficients donne R = lim |a_n / a_(n+1)|, si cette limite existe. Saisissez les coefficients par puissances croissantes : a_0 d’abord, puis a_1, et ainsi de suite.

Examinez la stabilisation avant de retenir l’estimation

Le champ ratios affiche chaque valeur |a_n / a_(n+1)| et tail_ratios isole la fenêtre finale employée. relative_spread compare le plus grand et le plus petit rapport final à leur moyenne. Réglez tail_terms pour équilibrer fraîcheur et bruit. Choisissez tolerance selon la précision justifiée par vos coefficients.

Questions techniques

Dans quel ordre faut-il saisir les coefficients ?

Saisissez d’abord a_0, puis a_1, a_2 et les coefficients suivants par puissances croissantes.

Quel est le prix d’un calcul par API ?

Chaque requête API coûte $0.002 ; le calculateur du navigateur exécute localement le même traitement déterministe.

Consulter la documentation complète du KIT →

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Déduisez le rayon d’une suite de coefficients

Examinez la stabilisation avant de retenir l’estimation

Repérez les cas adaptés au critère du rapport

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Questions fréquentes

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Examinez la stabilisation avant de retenir l’estimation

Questions techniques

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