Indices de Miller

Les indices de Miller (h k l) sont le nom entier standard d'un plan cristallin. Ils proviennent des intersections de ce plan avec les axes a, b et c de la maille, mesurées en unités des constantes de réseau. Ce calculateur d'indices de Miller accepte ces trois intersections, forme l'inverse de chaque valeur finie et réduit le rapport aux plus petits entiers h, k et l.

Ce que signifient les indices de Miller et comment les intersections deviennent (h k l)

Les indices de Miller d'un plan du réseau sont les trois entiers h, k et l tels que le plan coupe les axes cristallographiques en a divisé par h, b divisé par k et c divisé par l, ou ne rencontre jamais un axe lorsque l'indice correspondant est zéro. De façon équivalente, partez des intersections du plan choisi avec les axes a, b et c, mesurées en unités des paramètres de maille, prenez l'inverse de chaque intersection finie et éliminez les fractions jusqu'à obtenir le triplet entier le plus petit.

C'est la définition que William Hallowes Miller a introduite au XIXe siècle et celle que l'on fait encore pratiquer en science des matériaux, minéralogie et chimie de l'état solide. Contrôles classiques : intersections un, un, un deviennent (1 1 1) ; intersections deux, trois, quatre deviennent (6 4 3) ; intersections un, un et parallèle à c deviennent (1 1 0). Le parallèle à un axe est une intersection infinie dans le dessin du manuel.

Une intersection nulle contribue donc un indice de Miller zéro — le plan ne coupe jamais cet axe — plutôt qu'une division par zéro. Les trois entiers sont ensuite divisés par leur plus grand commun diviseur, de sorte que (2 2 2) est rapporté comme (1 1 1) : ces étiquettes nomment la même famille de plans parallèles équidistants. Les intersections négatives produisent des indices négatifs, écrits avec un moins dans la chaîne de notation, pour un plan qui coupe l'extrémité négative de cet axe.

Le moteur utilise des rationnels par fractions continues et une réduction entière exacte par LCM et GCD, non une conjecture flottante arrondie, si bien que des fractions simples comme un demi ou deux tiers se réduisent aux entiers du manuel chaque fois qu'un étudiant, un tuteur ou un script le demande.

Contrat d'entrée, forme de la réponse et erreurs

Les valeurs absolues plus grandes qu'un million sont rejetées pour que les produits intermédiaires restent dans des entiers sûrs. Si les trois intersections sont nulles, aucun plan unique n'est défini et la tâche échoue plutôt que d'inventer (0 0 0). Exemple : intersections deux, trois et quatre donnent les inverses un demi, un tiers et un quart ; nettoyer les dénominateurs donne douze, huit et six ; diviser par gcd deux produit (6 4 3).

Une validation en échec n'est pas facturée. Associez les entiers à votre propre code de dessin si vous avez besoin d'un croquis de maille cubique ; ce point d'accès nomme le plan et n'émet pas de tracés.

Où un calculateur d'indices de Miller rend service

Les laboratoires de cristallographie et les cours de matériaux utilisent un calculateur d'indices de Miller pour que les étudiants vérifient (h k l) pour des intersections quelconques sans perdre un signe ni oublier de prendre les inverses. Les générateurs d'examens ont besoin d'un oracle déterministe qui rejette une intersection non finie au lieu de renvoyer silencieusement un triplet vide qu'un correcteur buggé pourrait traiter comme un succès. Une validation en échec ne consomme pas le solde.

Gardez les intersections dans la limite de magnitude documentée, figez dans les tests à la fois le triplet entier et la chaîne miller, et vous obtenez des étiquettes (h k l) reproductibles pour les devoirs, les greffons LMS et les workers de bord sans dresser une bibliothèque de cristallographie à vous.

Préférez cette capacité lorsque les intersections sont déjà en unités axiales et que vous n'avez besoin que des entiers réduits ; ce n'est pas un solveur de d-spacing de Bragg, ni un chercheur de direction d'axe de zone [uvw], ni un traceur de projection stéréographique.