ForHosting KIT · 数学

点と平面の距離

点(1, 1, 1)から平面 2x + y + 2z − 9 = 0 までの距離は3分の4、つまり1.333333333333です。平面の4つの係数と空間の点を入力するだけで、最短距離とその符号、平面上にあるかどうかが分かります。ブラウザで無料で使えます。

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  • ブラウザで動作
  • 登録不要
  • データは端末の外に出ません
ご利用方法 ウェブAPIメールTelegramアプリ 近日
入力した場合
A
2
B
1
C
2
D
-9
X
1
Y
1
結果
距離
1.3333333333
符号付き距離
-1.3333333333
ノルム
3

点から平面への垂線距離は、その点から無限平面上の任意の位置までの最短経路です。平面の一般形の宿題を確認する学生、床や壁の平面からのクリアランスを測る測量・CAD 担当者、平面制約からアクターを遠ざけるゲームやロボティクスのパイプライン、フィットした曲面からのオフセットを報告するマシンビジョン・スタックなどで必要になります。この能力は、平面 ax プラス by プラス cz プラス d がゼロであることと問い合わせ点を定義する七つの数 a, b, c, d, x, y, z を受け取り、平面の法線 (a, b, c) が零ベクトルである退化した場合を拒否し、非負の距離とともに符号付き距離、法線の長さ、点がすでに平面上にあるかどうかを返します。

公式とは何か、数値がどう働くか

無限平面を一般形(デカルト形)として a 倍の x プラス b 倍の y プラス c 倍の z プラス d がゼロと書いてください。三つ組 (a, b, c) は平面の法線ベクトルで、平面上に留まるあらゆる方向に対して垂直を指します。その法線の長さは a の二乗プラス b の二乗プラス c の二乗の平方根(sqrt)というユークリッドノルムです。

問い合わせ点 (x, y, z) について、座標を左辺に代入すると残差 a 倍の x プラス b 倍の y プラス c 倍の z プラス d が得られます。その残差の絶対値を法線の長さで割ったものが、点から平面への垂線距離そのものです。残差がゼロのとき、点は平面の方程式を満たし距離はゼロです。

a, b, c がすべてゼロのとき、式は定数 d に潰れ平面を全く定義しません。古典的な健全性チェックは、二 x プラス y プラス二 z マイナス九がゼロの平面(長さ三の 2-1-2 法線)と点 (1, 1, 1) です。残差の絶対値は四、ノルムは三、距離は三分の四です。

各ステップは初等算術と一次元の三次元平方根(または hypot)だけなので、反復もサンプリングも壁時計への依存もなく、すでに a, b, c, d を持っているなら入力契約内で点法線変換も不要です。

実務上のヒント、制限、関連検索

平面が三つの非共線点で与えられる場合は、二つの辺ベクトルを作り、外積で (a, b, c) を得て、三点の一つが方程式を満たすように d を定めてください。指導では対になった例を好んでください。(1,1,1) での二・一・二・マイナス九は距離三分の四、平面上の点は距離ゼロ、a が b が c がゼロは非平面から呼び出し側を守る硬い拒否経路を示します。

有限多角形パッチへの最短距離は重心クランプ論理が必要で、ここでは範囲外です。すでに三次元の無限平面の一般形を持つときにこの能力を選んでください。往復チェックは簡単です。

床・壁・屋根平面からのクリアランスと後退

構造物、センサー読み、メッシュ頂点が一般形で表された工事・測量平面からどれだけ離れているかを測ります。

ゲーム・CAD・ロボティクスの平面制約からのオフセット

衝突・床・誘導制約として使う無限平面から、キャラクター、部品、エンドエフェクタの横方向オフセットを計算します。

平面への符号付き距離とは何ですか?

符号付き距離は (ax+by+cz+d)/sqrt(a²+b²+c²) です。符号は向き付けられた法線 (a,b,c) に対して点がどちらの半空間にあるかを示し、大きさは通常の距離と一致します。

三角形や有界な面でも使えますか?

いいえ。 この能力は無限平面への距離を測ります。有限多角形やメッシュ面への最短距離はクランプ論理が必要で別問題です。

最初の3つの係数がすべて0のときはどうなりますか?

平面が存在せず、式は定数の項だけになります。その場合は距離を出さないので、最初の3つの係数のうち少なくとも1つは0以外にしてください。

点が平面上にあるかはどう確かめますか?

距離が0と表示され、平面上にあることが示されます。座標が平面の式を満たすときにだけそうなるので、床の上で測った点などの確認に使えます。

平面の法線ベクトルとは何ですか?

最初の3つの係数を並べた、平面に垂直なベクトルです。長さは3つの係数の2乗の和の平方根で、2x + y + 2z − 9 = 0 なら3になります。

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

POSThttps://api.kit.forhosting.com/geom/point-plane-distance

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/point-plane-distance \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":2,"b":1,"c":2,"d":-9,"x":1,"y":1,"z":1}'
{
  "a": 2,
  "b": 1,
  "c": 2,
  "d": -9,
  "x": 1,
  "y": 1,
  "z": 1
}
{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "geom.point_plane_distance",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

max_abs1000000000000
min_norm1e-15
HTTPコード意味
401unauthorizedAPIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
402insufficient_balance残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
404unknown_type指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
429rate_limitedリクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

結果は決定的な JSON です。計算機代数システムも乱数シードもなく、無料のブラウザツールと前払い API 経路で同じ純粋な solve 関数を使うため、宿題チェック、採点スクリプト、本番パイプラインは毎回同じ数値を見ます。

公式とは何か、数値がどう働くか

このツールは距離を捏造せず invalid_input を返します。別のチェックは平面上にあると分かっている任意の点で、距離はゼロ、on_plane は真でなければなりません。

API の呼び出し方と戻り値

空間幾何の宿題パイプライン、建設クリアランス・スクリプト、ゲームレベル用ツール、面接準備サンドボックス、ロボティクスの keep-out 検査、各マシンに計算機代数パッケージを入れずに再現可能な点と平面の距離が必要な任意のワークフローでお使いください。七つの数値フィールドを持つ JSON 本体を送ってください。フィールド a は平面法線の第一係数で、別名 A と coeff_a を受け付けます。フィールド b は第二係数で、別名 B と coeff_b は同じ意味です。フィールド c は第三係数で、別名 C と coeff_c を受け付けます。フィールド d は定数項で、別名 D と coeff_d が使えます。フィールド x は点の第一座標で、別名 x0, px, point_x が使えます。フィールド y は第二座標で、別名 y0, py, point_y が使えます。フィールド z は第三座標で、別名 z0, pz, point_z が使えます。成功時の応答は a, b, c, d, x, y, z をエコーし、distance(非負)、signed_distance(向き付けられた法線のどちら側に点があるかで正負)、on_plane(距離がゼロのとき真)、norm(a の二乗プラス b の二乗プラス c の二乗の sqrt)、method を perpendicular に設定、閉じた形を記した短い formula ブロックを追加します。必須フィールド欠落、非有限数、公開された絶対限界外の値、完全にゼロの法線 (a, b, c) といった検証失敗は invalid_input を返し課金されません。料金は成功リクエストあたり定額 $0.002 で、単位は item、限界単位価格はゼロです。

実務上のヒント、制限、関連検索

中間積が Worker とブラウザの IEEE 倍精度で有限に保たれるよう、係数と座標を公開された絶対範囲(最大一兆)内に保ってください。単位は渡すもの(メートル、フィート、ゲーム単位など)であり、a, b, c, d, x, y, z が距離結果について単一の長さ単位と一貫していればよく、API は単位変換を行いません。公式は七つのスカラーだけを必要とするため、学生は小さな整数で残差と hypot を手計算し、API と行ごとに照合できます。このランディングは点と平面の距離計算機や ax プラス by プラス cz プラス d がゼロへの垂線距離を検索する方向けであり、三角形距離や半空間クリッピングの道具ではありません。invalid_input を返す失敗タスクは前払い残高を消費しないため、契約を学ぶ間に消滅する法線を入力しても探索スクリプトを安く保てます。解いた後、distance が signed_distance の絶対値に等しいこと、on_plane が distance がゼロのときだけ真であること、norm の二乗が浮動小数点許容内で a の二乗プラス b の二乗プラス c の二乗に等しいことを確認してください。

点と平面の距離の宿題・試験チェック

生徒に平面 ax+by+cz+d=0 と点を与え、手計算の垂線距離を決定的な API または無料ブラウザ結果と比較します。

点と平面の距離の公式は何ですか?

平面 ax+by+cz+d=0 と点 (x,y,z) について、垂線距離は |ax+by+cz+d| / sqrt(a²+b²+c²) です。絶対値により非負の長さになります。

なぜ零の平面法線は拒否されますか?

a=b=c=0 のとき方程式は d=0 または矛盾に帰着し平面を定義しません。このツールは無意味な距離ではなく invalid_input を返します。

点と平面の距離計算機は無料ですか?

ブラウザツールは無料でローカル実行です。API 呼び出しは成功リクエストあたり $0.002 の KIT 前払い残高を使い、失敗タスクは課金されません。

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