Distancia punto a plano
El punto (1, 1, 1) está a cuatro tercios, 1,333333333333, del plano 2x + y + 2z − 9 = 0. Indique los cuatro coeficientes del plano y un punto y obtenga la separación mínima, su signo y si el punto está en el plano. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 2
- B
- 1
- C
- 2
- D
- -9
- X
- 1
- Y
- 1
- Distancia
- 1,3333333333
- Distancia con signo
- -1,3333333333
- Norma
- 3
La distancia perpendicular de un punto a un plano es el camino más corto desde ese punto hasta cualquier lugar del plano infinito. La necesita un estudiante que comprueba deberes sobre la ecuación general del plano, un topógrafo u operador CAD que mide el despeje respecto a un plano de suelo o muro, un pipeline de juegos o robótica que mantiene un actor alejado de una restricción planar, o una pila de visión artificial que informa del desplazamiento respecto a una superficie ajustada. Esta capacidad acepta los siete números a, b, c, d, x, y y z que definen el plano ax más by más cz más d igual a cero y el punto de consulta, rechaza el caso degenerado en que la normal del plano (a, b, c) es el vector nulo, y devuelve la distancia no negativa junto con la distancia con signo, la longitud de la normal y si el punto ya está sobre el plano.
Qué es la fórmula y cómo funcionan los números
Escriba el plano infinito en forma general (cartesiana) como a por x más b por y más c por z más d igual a cero. La terna (a, b, c) es un vector normal al plano: apunta perpendicular a toda dirección que permanece sobre el plano. La longitud de esa normal es la norma euclídea sqrt de a al cuadrado más b al cuadrado más c al cuadrado.
Para un punto de consulta (x, y, z), sustituya las coordenadas en el lado izquierdo para obtener el residual a por x más b por y más c por z más d. El valor absoluto de ese residual dividido por la longitud de la normal es exactamente la distancia perpendicular del punto al plano. Cuando el residual es cero, el punto satisface la ecuación del plano y la distancia es cero.
Una comprobación clásica es el plano dos x más y más dos z menos nueve igual a cero (normal 2-1-2 de longitud tres) y el punto (1, 1, 1): valor absoluto del residual cuatro, norma tres, distancia cuatro tercios. Cada paso es aritmética elemental y una raíz cuadrada tridimensional (o hypot), así que no hay iteración, ni muestreo, ni dependencia del reloj de pared, ni necesidad de conversión punto-normal en el contrato de entrada una vez que ya dispone de a, b, c y d.
Qué puede hacer con ella
Despeje y retranqueo respecto a un plano de suelo, muro o cubierta
Mida cuán lejos se sitúa una estructura, una lectura de sensor o un vértice de malla de un plano de obra o topografía expresado en forma general.
Desplazamiento en juegos, CAD y robótica respecto a una restricción planar
Calcule el desplazamiento lateral de un personaje, una pieza o un efector final respecto a un plano infinito usado como restricción de colisión, suelo o guiado.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de la distancia de un punto a un plano?
El valor absoluto garantiza una longitud no negativa.
¿Qué es la distancia con signo a un plano?
La distancia con signo es (ax+by+cz+d)/sqrt(a²+b²+c²). Su signo indica en qué semiespacio está el punto respecto a la normal orientada (a,b,c); la magnitud coincide con la distancia ordinaria.
¿Funciona para un triángulo o una cara acotada?
No. Esta capacidad mide la distancia al plano infinito. La distancia más corta a un polígono finito o a una cara de malla necesita lógica de clamp y es un problema distinto.
¿Es gratuita la calculadora de distancia punto a plano?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local.
¿Qué ocurre si los tres primeros coeficientes valen cero?
En ese caso no existe ningún plano: la expresión queda reducida al término constante. La calculadora no da ninguna distancia, así que asegúrese de que al menos uno de los tres primeros coeficientes sea distinto de cero.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/point-plane-distance \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"b":1,"c":2,"d":-9,"x":1,"y":1,"z":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/point-plane-distance", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 2,
"b": 1,
"c": 2,
"d": -9,
"x": 1,
"y": 1,
"z": 1
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/point-plane-distance",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"b": 1,
"c": 2,
"d": -9,
"x": 1,
"y": 1,
"z": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/point-plane-distance", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"b":1,"c":2,"d":-9,"x":1,"y":1,"z":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":1,"c":2,"d":-9,"x":1,"y":1,"z":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/point-plane-distance", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 2,
"b": 1,
"c": 2,
"d": -9,
"x": 1,
"y": 1,
"z": 1
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.point_plane_distance",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_abs | 1000000000000 |
min_norm | 1e-15 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Los resultados son JSON determinista—sin sistema de álgebra computacional, sin semillas aleatorias y con la misma función pura de resolución en la herramienta gratuita del navegador y en la ruta de API prepago—, de modo que las comprobaciones de deberes, los scripts de corrección y los pipelines de producción ven siempre los mismos números.
Qué es la fórmula y cómo funcionan los números
Cuando a, b y c son todos cero, la expresión se reduce a la constante d y no define un plano en absoluto—esta herramienta devuelve invalid_input en lugar de inventar una distancia. Otra comprobación es cualquier punto que se sepa sobre el plano: la distancia debe ser cero y on_plane verdadero.
Cómo llamar a la API y qué devuelve
Úselo en pipelines de deberes de geometría del espacio, scripts de despeje en obra, herramientas de nivel de juego, sandboxes de preparación de entrevistas, comprobaciones de exclusión en robótica o cualquier flujo que necesite una distancia punto-plano reproducible sin instalar un paquete de álgebra computacional en cada máquina. Envíe un cuerpo JSON con siete campos numéricos. El campo a es el primer coeficiente de la normal del plano; se aceptan los alias A y coeff_a. El campo b es el segundo coeficiente; los alias B y coeff_b tienen el mismo significado. El campo c es el tercer coeficiente; se aceptan los alias C y coeff_c. El campo d es el término constante; funcionan los alias D y coeff_d. El campo x es la primera coordenada del punto; funcionan los alias x0, px y point_x. El campo y es la segunda coordenada; funcionan los alias y0, py y point_y. El campo z es la tercera coordenada; funcionan los alias z0, pz y point_z. En caso de éxito la respuesta repite a, b, c, d, x, y y z, añade distance (no negativa), signed_distance (positiva o negativa según el lado de la normal orientada en que se sitúa el punto), on_plane (verdadero cuando la distancia es cero), norm (sqrt de a al cuadrado más b al cuadrado más c al cuadrado), method igual a perpendicular, y un bloque formula breve que documenta las formas cerradas. La validación fallida—falta de un campo obligatorio, un número no finito, un valor fuera de los límites absolutos publicados, o una normal (a, b, c) totalmente nula—devuelve invalid_input y nunca se cobra. El precio es un fijo de $0.002 por petición exitosa con ítem unitario y precio marginal unitario cero.
Consejos prácticos, límites y búsquedas relacionadas
Si su plano se da por tres puntos no colineales, forme dos vectores arista, tome su producto vectorial para obtener (a, b, c) y fije d de modo que uno de los tres puntos satisfaga la ecuación. Al enseñar, prefiera ejemplos emparejados: dos-uno-dos-menos-nueve en (1,1,1) para distancia cuatro tercios; un punto sobre el plano para distancia cero; y a igual a b igual a c igual a cero para demostrar el rechazo duro que protege a los llamadores de un no-plano. Esta página se dirige a quienes buscan una calculadora de distancia punto a plano o distancia perpendicular a ax más by más cz más d igual a cero; no es una herramienta de distancia a triángulo ni de recorte a semiespacio—la distancia más corta a un parche poligonal finito necesita lógica de clamp baricéntrico fuera de alcance aquí. Prefiera esta capacidad cuando ya disponga de la forma general de un plano infinito en tres dimensiones. Mantenga coeficientes y coordenadas dentro del rango absoluto publicado hasta un billón para que los productos intermedios sigan siendo finitos en precisión doble IEEE en el Worker y en el navegador. Las unidades son las que usted pase—metros, pies o unidades de juego—siempre que a, b, c, d, x, y y z sean coherentes con una sola unidad de longitud para el resultado de distancia; la API no convierte unidades por usted. Como la fórmula solo necesita siete escalares, los estudiantes pueden recalcular a mano el residual y el hypot con enteros pequeños y cotejar la API línea a línea. Las tareas fallidas que devuelven invalid_input no consumen saldo prepago, lo que mantiene baratos los scripts exploratorios cuando los usuarios escriben una normal nula al aprender el contrato. Las comprobaciones de ida y vuelta son fáciles: tras resolver, confirme que distance es el valor absoluto de signed_distance, que on_plane es verdadero exactamente cuando distance es cero, y que norm al cuadrado es a al cuadrado más b al cuadrado más c al cuadrado dentro de la tolerancia flotante.
Casos de integración
Comprobaciones de deberes y exámenes de distancia punto-plano
Dé a los alumnos un plano ax+by+cz+d=0 y un punto; compare su distancia perpendicular calculada a mano con un resultado determinista de la API o del navegador gratuito.
Preguntas técnicas
¿Por qué se rechaza una normal de plano nula?
Si a=b=c=0 la ecuación se reduce a d=0 o a una contradicción y no define un plano. Esta herramienta devuelve invalid_input en lugar de una distancia sin sentido.