Soma parcial série geométrica finita
Some uma progressão geométrica sem somar termo a termo: com primeiro termo 2, razão 3 e cinco termos, 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242, e o último termo, 162, também aparece. Razão exatamente igual a 1 também é aceita. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 2
- Resistência (Ω)
- 3
- N
- 5
- Sum
- 242
- Último termo
- 162
- Max n
- 10.000
Uma série geométrica finita é o total acumulado de uma sequência geométrica: cada termo é o anterior multiplicado por uma razão comum fixa. Exemplos clássicos de sala incluem dois mais seis mais dezoito mais cinquenta e quatro, em que o primeiro termo é dois, a razão é três e quatro termos somam oitenta. Em vez de somar cada potência à mão, a fórmula fechada multiplica o primeiro termo por um menos a razão elevada ao número de termos e divide por um menos a razão—ou simplesmente multiplica o primeiro termo por n quando a razão é exatamente um. Esta capacidade avalia essa fórmula de soma parcial de forma determinística: envie a, r e n e receba a soma, o último termo e a string da fórmula usada.
O que é uma série geométrica finita e como funciona a soma fechada
Uma sequência geométrica começa em um primeiro termo a e multiplica por uma razão comum r a cada passo, de modo que os termos leem a, a vezes r, a vezes r ao quadrado, até a vezes r elevado a n menos um. A série geométrica finita é a soma parcial desses primeiros n termos.
Derivar a forma fechada é material padrão de cálculo e pré-cálculo: escreva S_n para a soma, multiplique por r para deslocar índices e subtraia para cancelar os termos do meio, deixando S_n vezes um menos r igual a a vezes um menos r à n. Dividindo, obtém-se S_n igual a a vezes um menos r à n, tudo sobre um menos r, sempre que r não seja um.
Quando r vale um cada termo é a, então a soma colapsa para a vezes n—um caso especial em que a fórmula dividiria por zero se aplicada de forma ingênua. Verificações clássicas incluem a igual a dois, r igual a três, n igual a cinco: os termos são dois, seis, dezoito, cinquenta e quatro e cento e sessenta e dois, e a soma fechada é duzentos e quarenta e dois.
Outra verificação é um primeiro termo unitário com razão um meio em quatro termos: um mais um meio mais um quarto mais um oitavo igual a um e sete oitavos. Diferente de uma série geométrica infinita, não há exigência de convergência em |r|; todo n finito está bem definido quando a aritmética permanece dentro do ponto flutuante finito.
Onde uma calculadora de série geométrica finita vale o investimento
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de soma parcial de série geométrica finita para que aprendizes verifiquem S_n com a, r e n arbitrários sem erros de sinal ao expandir potências à mão. Geradores de preparação para exames precisam de um oráculo determinístico que marque como errado contagem de termos zero em vez de devolver sucesso vazio em silêncio.
Notas de física e engenharia usam progressões geométricas para atenuação sucessiva, ganhos de amostragem ou envelopes de filtros recursivos; a forma fechada é exata dentro do ponto flutuante e mais barata que iterar milhares de multiplicações em planilha. Landings irmãs neste kit miram intenções diferentes: a soma de série geométrica infinita exige razão absoluta estritamente menor que um, e a calculadora de sequência geométrica enfatiza o n-ésimo termo junto com a soma sob redação de sequências.
Esta página é especificamente para quem busca a forma fechada da soma parcial finita em enquadramento de cálculo. Validação falha não consome saldo. Mantenha n dentro da faixa publicada, fixe a soma arredondada nos testes e obtenha somas parciais reproduzíveis para lições, plugins LMS e edge workers sem levantar infraestrutura própria de matemática simbólica.
Casos de uso
Conferências de sala e lição de casa
Deixe alunos enviarem primeiro termo, razão comum e contagem de termos; confira S_n pela fórmula fechada sem expandir cada potência à mão.
Correção automática de exames e LMS
Corrija itens de séries geométricas finitas com oráculo determinístico que rejeita n abaixo de um e nunca inventa resposta de soma infinita.
Finanças e crescimento composto em horizontes fixos
Some fluxos de caixa geométricos ou fatores compostos multiperíodo para um número conhecido de passos em scripts sem dependência de álgebra computacional.
Perguntas frequentes
Como calcular a soma de uma série geométrica finita?
Envie números finitos a (primeiro termo), r (razão comum) e o inteiro n (contagem de termos ≥ 1).
E se a razão comum r for igual a 1?
Cada termo é igual a a, então a soma é a vezes n.
É necessário que |r| seja menor que 1?
Não. Somas parciais finitas são definidas para qualquer r finito. O requisito |r| < 1 aplica-se apenas a séries geométricas infinitas, que é outra capacidade.
Quais valores de n são permitidos?
n deve ser um inteiro de 1 a 10000.
Quanto dá 2 + 6 + 18 + 54 + 162?
Dá 242. É uma série geométrica com primeiro termo 2, razão 3 e cinco termos; a fórmula multiplica 2 por 1 − 3^5 e divide por 1 − 3. A calculadora também mostra que o último termo é 162.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/geometric-series-sum-finite \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"r":3,"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/geometric-series-sum-finite", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 2,
"r": 3,
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/geometric-series-sum-finite",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"r": 3,
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/geometric-series-sum-finite", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"r":3,"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"r":3,"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/geometric-series-sum-finite", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 2,
"r": 3,
"n": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.geometric_series_sum_finite",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Alunos que conferem lições, tutores que corrigem itens de séries geométricas, scripts financeiros que modelam crescimento composto em horizonte fixo e engenheiros que somam cargas geométricas obtêm a mesma função pura na ferramenta gratuita do navegador e na API pré-paga, com invalid_input rígido quando a contagem de termos cai abaixo de um ou as entradas não são finitas.
O que é uma série geométrica finita e como funciona a soma fechada
Como o algoritmo usa potências iterativas com detecção de overflow em vez de apenas Math.pow, |r| grande ou n grande falham com invalid_input claro em vez de devolver Infinity em silêncio.
Contrato de entrada, formato da resposta e comportamento de erro
Use em pipelines de lição de casa, validadores de contest, checagens de crescimento composto em número fixo de períodos ou qualquer fluxo que precise de soma parcial geométrica finita reproduzível sem instalar um pacote de álgebra computacional. Envie um corpo JSON com três campos obrigatórios. O campo a é um número finito—o primeiro termo—com aliases first, first_term e a1. O campo r é um número finito—a razão comum—com aliases ratio e common_ratio; r pode ser negativo, fracionário, maior que um em valor absoluto ou exatamente um. O campo n é um inteiro de um a dez mil—o número de termos da soma parcial—com aliases terms, count e k. Em sucesso a resposta ecoa a, r e n como números convertidos; sum igual à soma parcial fechada arredondada a doze casas decimais para goldens estáveis; last_term igual a a vezes r elevado a n menos um, também arredondado; formula igual à string S_n igual a a vezes parêntese um menos r à n sobre um menos r, ou a string do caso especial quando r é um; e max_n igual ao teto publicado de dez mil. Validação falha—campo obrigatório ausente, não número em a ou r, não inteiro ou fração em n, n acima do máximo, n abaixo de um ou overflow intermediário—retorna invalid_input e nunca é cobrada. O preço é um valor fixo US$ 0,002 por requisição bem-sucedida com unidade item.
Onde uma calculadora de série geométrica finita vale o investimento
Cadernos de finanças e operações frequentemente somam fluxos de caixa geométricos, cronogramas de depreciação ou fatores compostos multiperíodo em horizonte fixo; chamar uma pequena API de parse evita puxar uma biblioteca simbólica completa por três coeficientes. Como a implementação é parse puro tier A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora de série geométrica finita?
A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.