Calculadora de regressão quártica
Os dados de x⁴+2x³−x²+3x+5 em x de 0 a 4 devolvem os coeficientes 1, 2, −1, 3 e 5 com R² de 1. Informe listas de x e y com pelo menos cinco valores de x diferentes para obter o ajuste e a equação. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- X
- 0, 1, 2, 3, 4
- Y
- 5, 10, 39, 140, 385
- N
- 5
- Grau
- 4
- Valores x distintos
- 5
- A4
- 1
A regressão quártica encontra o polinômio de quarto grau que melhor explica como uma resposta y muda com um preditor x sob mínimos quadrados ordinários. O modelo ajustado escreve-se y igual a a4 vezes x à quarta mais a3 vezes x ao cubo mais a2 vezes x ao quadrado mais a1 vezes x mais a0: cinco coeficientes que capturam duas inflexões que uma reta ou uma quadrática não alcançam. Estudantes encontram essa ferramenta em álgebra e estatística introdutória quando um gráfico de dispersão se curva mais de uma vez; analistas usam a mesma forma de equações normais para curvas de calibração, perfis de crescimento e mapas de sensores claramente não lineares. Esta calculadora aceita listas pareadas x e y de números finitos, rejeita séries com menos de cinco valores x distintos porque o modelo de cinco parâmetros não seria único, e devolve os cinco coeficientes, uma equação imprimível e o R-quadrado.
Como funciona a regressão quártica por mínimos quadrados ordinários
Comece com observações pareadas de um preditor x e uma resposta y. Um modelo quártico escreve cada valor ajustado como a4 vezes x à quarta mais a3 vezes x ao cubo mais a2 vezes x ao quadrado mais a1 vezes x mais a0. Os mínimos quadrados ordinários escolhem a quíntupla única de coeficientes que minimiza a soma dos resíduos verticais ao quadrado entre cada y observada e o valor previsto por esse polinômio.
Algebricamente o mínimo é um problema linear de mínimos quadrados: forme a matriz de desenho de Vandermonde cujas colunas são as potências sucessivas de x de quatro até zero, e resolva A beta igual a y no sentido de mínimos quadrados.
Esta implementação primeiro centra x na média amostral para que as colunas de potências fiquem melhor condicionadas, fatora a matriz n por cinco com QR de Householder, faz substituição para trás dos cinco coeficientes e os expande de volta à escala original de x com as identidades binomiais de (x menos a média) em cada potência.
Os valores previstos vêm da avaliação de Horner do polinômio recuperado; a soma dos quadrados residual é a soma das diferenças ao quadrado entre y e essas previsões; a soma dos quadrados total é a soma dos desvios ao quadrado de y em relação à sua própria média; o R-quadrado é um menos residual sobre total.
Casos de uso
Gabaritos de lição de casa e provas
Gere os cinco coeficientes quárticos, a equação imprimível e o R-quadrado para dados pareados de livro didático, para que professores e autoavaliadores compartilhem uma única verdade de referência.
Calibração de laboratório com duas dobras
Ajuste a leitura do instrumento versus a concentração quando uma quadrática fica curta nas pontas, e armazene a4 até a0 para os passos de predição seguintes.
Perguntas frequentes
Que método esta calculadora de regressão quártica usa?
Mínimos quadrados ordinários: fatora a Vandermonde centrada n por cinco com QR de Householder e resolve y = a4 x^4 + a3 x^3 + a2 x^2 + a1 x + a0. Sem solucionadores iterativos e sem bibliotecas de aprendizado de máquina.
Por que preciso de cinco valores x distintos?
Um polinômio de quarto grau tem cinco coeficientes livres. Menos de cinco abscissas distintas tornam a matriz de desenho deficiente em posto, de modo que não existe quártica única de mínimos quadrados.
O que significam os cinco coeficientes devolvidos?
São a4, a3, a2, a1 e a0 em y = a4 x^4 + a3 x^3 + a2 x^2 + a1 x + a0, também repetidos como o array coefficients em ordem descendente. a4 é o termo líder (grau quatro); a0 é o intercepto.
Posso enviar mais de cinco pontos?
Sim. Pontos extras superdeterminam o sistema e o solucionador ainda devolve a quártica única de mínimos quadrados. Você ainda precisa de pelo menos cinco valores x distintos entre eles.
Quanto custa obter os cinco coeficientes desta regressão quártica?
O ajuste quártico no navegador é gratuito e corre no seu aparelho, sem conta.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/quartic-regression \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x":[0,1,2,3,4],"y":[5,10,39,140,385]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/quartic-regression", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"x": [
0,
1,
2,
3,
4
],
"y": [
5,
10,
39,
140,
385
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/stat/quartic-regression",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x": [
0,
1,
2,
3,
4
],
"y": [
5,
10,
39,
140,
385
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/quartic-regression", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x":[0,1,2,3,4],"y":[5,10,39,140,385]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x":[0,1,2,3,4],"y":[5,10,39,140,385]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/quartic-regression", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"x": [
0,
1,
2,
3,
4
],
"y": [
5,
10,
39,
140,
385
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.quartic_regression",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_items | 10000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Como funciona a regressão quártica por mínimos quadrados ordinários
O método é aritmética de ponto flutuante determinística, sem sementes aleatórias, sem carimbos de relógio e sem chamadas de rede, de modo que entradas idênticas sempre produzem o mesmo JSON. Se forem fornecidos menos de cinco valores x distintos, as cinco colunas da matriz de desenho são linearmente dependentes e não existe quártica única, então a requisição é rejeitada com invalid_input em vez de devolver Infinity, NaN ou um membro arbitrário de uma família infinita de curvas igualmente ajustadas.
O que você envia e o que recebe de volta
Envie dados pareados como duas listas de igual comprimento. Exigem-se pelo menos cinco pares, e entre eles pelo menos cinco valores de x devem ser distintos: cinco pontos que compartilhem só quatro abscissas diferentes deixam a quártica subdeterminada. Uma checagem clássica de ajuste exato é x de zero a quatro com y gerado a partir de x à quarta mais dois x ao cubo menos x ao quadrado mais três x mais cinco, que recupera a4 igual a um, a3 igual a dois, a2 igual a menos um, a1 igual a três e a0 igual a cinco com R-quadrado um. O campo x é a série da variável independente e o campo y é a da variável dependente; cada uma pode chegar como um array JSON de números finitos ou como uma string separada por vírgula, espaço ou ponto e vírgula. Campos ausentes, listas vazias, tokens não numéricos, NaN, Infinity, descompasso de comprimento, mais de dez mil pontos e menos de cinco x distintos falham com invalid_input e não são cobrados. Em caso de sucesso a resposta inclui n, degree quatro, a contagem de x distintos, os cinco coeficientes nomeados a4, a3, a2, a1 e a0, os mesmos cinco como array coefficients em ordem descendente, uma string de equação imprimível do tipo y igual a x à quarta mais dois x ao cubo menos x ao quadrado mais três x mais cinco, o R-quadrado, o rótulo de método ordinary_least_squares e um breve lembrete de fórmula. O preço das chamadas API bem-sucedidas é a base publicada de US$ 0,002 por item; falhas de validação não consomem saldo pré-pago.
Onde uma calculadora de regressão quártica aparece no trabalho real
A calibração de laboratório às vezes mapeia a leitura do instrumento x para a concentração y com uma curva suave em S ou de duas dobras que uma quadrática fica curta nas pontas; os coeficientes quárticos tornam-se a calibração armazenada usada pelos passos de predição seguintes. Séries de crescimento, dose-resposta e operações sazonais costumam mostrar dois pontos de virada dentro da janela observada, e uma curva de grau quatro por mínimos quadrados é o menor polinômio que consegue seguir ambos. Se mais adiante precisar de uma reta, uma quadrática ou uma cúbica, regressão múltipla, modelos logísticos ou testes de hipóteses sobre resíduos, trate-os como intenções de busca e páginas de destino separadas em vez de sobrecarregar esta página de regressão quártica: quem pesquisa calculadora de regressão quártica quer o ajuste de quarto grau com cinco coeficientes, não uma caixa de ferramentas polinomial genérica. Cursos de estatística do ensino médio e da faculdade atribuem linhas de tendência polinomiais quando a turma já superou o ajuste reto, e um único oráculo confiável que devolve cinco coeficientes como JSON limpo agiliza a correção e a montagem de demos. Como esta capacidade é um motor de parse puro, o preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido e a validação falha não consome saldo.
Casos de integração
Checagens de fixtures sintéticos
Recupere uma quártica geradora conhecida a partir de pares superdeterminados e afirme que o R-quadrado é um antes de enviar fixtures de teste de regressão.