Calculadora de iteração de funções
Aplique uma regra sobre o próprio resultado, passo a passo, e veja a órbita inteira: x² − 1 a partir de 1,5 chega a −0,68359375 em três passos e a −0,532699584960938 em quatro. Grátis no seu navegador.
- Grátis
- Funciona no seu navegador
- Sem cadastro
- Seus dados não saem do seu aparelho
Executar grátis
Exemplo resolvido
- Função
- x^2 - 1
- Início
- 1,5
- Iterações
- 4
- Órbita
- 1,5, 1,25, 0,5625, -0,68359375, -0,532699585
- Valor final
- -0,532699585
A calculadora de iteração de funções aplica repetidamente a mesma expressão real a um número inicial e devolve todos os pontos da órbita resultante. O resultado inclui o valor inicial, cada saída sucessiva e o valor final. Assim, você pode estudar relações de recorrência, pontos fixos, ciclos, convergência, divergência e os primeiros passos de sistemas dinâmicos simples sem calcular cada substituição manualmente.
Informe a função e o valor inicial
Escreva a regra como uma expressão em x, por exemplo x^2 - 1, cos(x) ou 0.5*x + 3. A calculadora aceita parênteses, números decimais e em notação científica, os operadores +, -, *, / e ^, além das constantes pi e e. As funções de um argumento disponíveis incluem abs, sqrt, sin, cos, tan, exp, ln, log, floor, ceil e round.
A multiplicação precisa ser explícita: escreva 2*x, e não 2x. Em seguida, forneça um valor real finito como ponto de partida. Por fim, escolha de zero a mil iterações.
O valor zero devolve apenas o ponto inicial e ajuda a confirmar se a entrada foi interpretada corretamente. As expressões são analisadas como matemática, nunca executadas como código; nomes, sintaxes ou operações fora da gramática documentada geram um erro de entrada claro.
Leia a órbita na ordem correta
Essa distinção evita um erro comum de contagem. Os valores são normalizados para quinze algarismos significativos, reduzindo resíduos incômodos da representação binária em ponto flutuante sem eliminar a precisão útil. A normalização não transforma iteração numérica em álgebra simbólica, e o arredondamento pode afetar sistemas extremamente sensíveis após muitas etapas.
Considere órbitas caóticas longas como aproximações numéricas, principalmente quando valores iniciais próximos se afastam rapidamente.
Interprete convergência, ciclos e falhas
Valores sucessivos frequentemente revelam o comportamento qualitativo de uma recorrência. Quando as últimas entradas se estabilizam perto de um número, ele pode ser um ponto fixo atrativo: sua substituição na função produz aproximadamente o mesmo valor. A alternância entre poucos valores recorrentes sugere um ciclo, enquanto magnitudes em crescimento contínuo podem indicar divergência.
Uma lista finita não prova sozinha nenhum desses comportamentos, mas oferece indícios e um ponto de partida prático para a análise. Compare órbitas de vários valores iniciais próximos ao investigar estabilidade. A calculadora para com um erro de entrada se alguma operação produzir Infinity ou NaN, como pode ocorrer após divisão por zero, raiz quadrada de número negativo ou logaritmo inválido.
O erro identifica a iteração em que a órbita real deixou de existir. Sem rede, aleatoriedade, relógio ou estado oculto, entradas válidas idênticas sempre geram a mesma saída.
Casos de uso
Procurar convergência a um ponto fixo
Verifique se as saídas sucessivas se aproximam de um valor quase inalterado por uma nova aplicação.
Comparar valores iniciais próximos
Execute a mesma função não linear com condições iniciais próximas e compare a evolução das órbitas numéricas.
Perguntas frequentes
Qual sintaxe de expressão é aceita?
Use x, números, pi, e, parênteses, +, -, *, /, ^ e as funções documentadas de um argumento. A multiplicação deve ser escrita explicitamente.
O que ocorre quando uma iteração é indefinida?
O cálculo para e devolve um erro de entrada que informa a iteração responsável pelo valor não finito.
Por que uma órbita caótica pode diferir do resultado teórico exato?
Esta é uma iteração numérica em ponto flutuante. Pequenas diferenças de arredondamento podem crescer rapidamente em sistemas sensíveis.
O que acontece se eu pedir zero iterações?
Você recebe apenas o valor inicial. É um jeito rápido de confirmar que o número e a regra foram entendidos como você queria antes de calcular órbitas maiores.
Por que recebo um valor a mais do que o número de passos?
A lista começa pelo valor inicial e depois traz um valor por passo. Por isso quatro passos a partir de 1,5 geram cinco valores, terminando em −0,532699584960938.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/function-iteration \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"function":"x^2 - 1","start":1.5,"iterations":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/function-iteration", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"function": "x^2 - 1",
"start": 1.5,
"iterations": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/function-iteration",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"function": "x^2 - 1",
"start": 1.5,
"iterations": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/function-iteration", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"function":"x^2 - 1","start":1.5,"iterations":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"function":"x^2 - 1","start":1.5,"iterations":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/function-iteration", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"function": "x^2 - 1",
"start": 1.5,
"iterations": 4
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.function_iteration",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_iterations | 1000 |
max_expression_chars | 500 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Informe uma expressão em x, escolha x_0 e determine quantas iterações deseja executar.
Informe a função e o valor inicial
Esse valor é x_0, o primeiro elemento da órbita, e não o resultado da primeira aplicação.
Leia a órbita na ordem correta
Se a regra informada for f e o valor inicial for x_0, a calculadora obtém x_1 = f(x_0), depois x_2 = f(x_1), e continua até x_n. Portanto, o array orbit contém n + 1 valores: o inicial no índice zero e, na sequência, um valor para cada aplicação solicitada. O campo final_value repete o último elemento para facilitar o uso em scripts, enquanto iterations registra quantas aplicações foram pedidas. Por exemplo, três iterações não devolvem três pontos no total, mas x_0, x_1, x_2 e x_3.
Interprete convergência, ciclos e falhas
Limites fixos para o tamanho da expressão e a quantidade de iterações mantêm previsível a execução no navegador e via API.
Casos de integração
Explorar uma relação de recorrência
Gere de x_0 até x_n para uma regra como x^2 - 1 sem repetir substituições manualmente.
Perguntas técnicas
A órbita inclui o valor inicial?
Sim. A primeira entrada é x_0, seguida por uma saída para cada iteração solicitada.
Quanto custa um cálculo via API?
Cada solicitação à API custa US$ 0,002. A mesma calculadora determinística também está disponível no navegador.