Combinação linear de dois números: ache x, y com ax+by=c
Encontre os inteiros que, multiplicados por 15 e 25, somam 10: 15 × 4 + 25 × (−2) = 10, possível porque o máximo divisor comum, 5, divide 10. Se não dividir, você é avisado de que não há solução. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 15
- B
- 25
- C
- 10
- Gcd
- 5
- X
- 4
- Y
- -2
- Verificação
- 10
Uma combinação linear de dois inteiros a e b é qualquer inteiro que pode ser escrito como a vezes x mais b vezes y para certos inteiros x e y. Nem todo alvo é alcançável: o teorema de Bézout afirma que o conjunto alcançável é exatamente o dos múltiplos do máximo divisor comum de a e b. Esta calculadora de combinação linear de dois números aceita os coeficientes a e b mais um alvo c, calcula esse mdc com o algoritmo de Euclides estendido e devolve um par particular de coeficientes que realiza o alvo, ou informa que não existe solução inteira. Estudantes usam para conferir exercícios diofantinos; desenvolvedores reutilizam o mesmo contrato puro em competições, aritmética de escalas e pipelines de aritmética modular.
O que significa uma combinação linear e quando um alvo é alcançável
Dados inteiros a e b, o conjunto de todas as combinações lineares inteiras a vezes x mais b vezes y é um objeto fundamental da teoria elementar dos números. O algoritmo de Euclides mostra que esse conjunto coincide com o dos múltiplos de g, onde g é o máximo divisor comum de a e b. De forma equivalente, a equação diofantina linear a vezes x mais b vezes y igual a c tem soluções inteiras se e somente se g divide c.
Quando existe uma solução, existem infinitas: se (x0, y0) é uma solução particular, a família geral é x igual a x0 mais (b sobre g) vezes t e y igual a y0 menos (a sobre g) vezes t para todo parâmetro inteiro t. O passo construtivo que produz uma solução particular é o algoritmo de Euclides estendido: enquanto calcula g, rastreia como cada resto se escreve como combinação dos a e b originais e, ao terminar, entrega coeficientes de Bézout para o próprio g.
Multiplicar esses coeficientes pela escala inteira c sobre g produz uma solução para o alvo c. Esta calculadora empacota esse fluxo completo: devolve o mdc, um indicador booleano possible, um par particular (x, y) quando o alvo é alcançável, uma verificação numérica igual a a vezes x mais b vezes y, uma string de equação legível e strings de forma geral para a família paramétrica.
Quando g não divide c, a resposta ainda tem sucesso, mas define possible como false e explica o obstáculo, no vocabulário de sala de que a equação não tem solução inteira, em vez de fingir que o cliente enviou dados inválidos.
Onde uma calculadora de combinação linear agrega valor de verdade
Programação competitiva e treino olímpico pedem com frequência soluções inteiras de a vezes x mais b vezes y igual a c; um oráculo determinístico que certifica a resolubilidade via o teste do mdc e devolve coeficientes reduz o tempo de depuração em bugs de escala por um. Cadernos de engenharia usam combinações de dois coeficientes ao reconciliar escalas periódicas, denominações de moedas ou contagens de dentes de engrenagem que devem atingir um total exato.
Demonstrações de criptografia e aritmética modular costumam partir do mesmo passo de Euclides estendido antes de especializar em inversos quando o mdc é um. Validação falha não consome saldo.
Casos de uso
Conferência de exercícios diofantinos lineares
Envie a, b e o alvo c para verificar se existem inteiros x, y com a·x + b·y = c e obter uma solução particular mais a forma paramétrica geral.
Oráculos para competições e programação
Automatize testes de resolubilidade e recuperação de coeficientes em tarefas diofantinas lineares de duas variáveis em juízes online, geradores e testes unitários.
Aritmética de escalas e denominações
Decida se dois tamanhos de passo podem atingir um total exato (turnos, moedas, dentes de engrenagem) com a regra de divisibilidade do mdc e coeficientes explícitos.
Perguntas frequentes
Como expresso um alvo como combinação linear de dois números?
Envie inteiros a, b e o alvo c. Se g divide c, devolve inteiros x, y com a·x + b·y = c; caso contrário possible é false.
Quando não há solução inteira?
Quando gcd(a,b) não divide c. A resposta tem sucesso com possible false e uma string reason; é ausência de solução matemática, não erro de validação do cliente.
Os coeficientes são únicos?
Não. Se (x0,y0) funciona, também funciona x0+(b/g)·t e y0−(a/g)·t para todo inteiro t.
E se a e b forem ambos zero?
Uma combinação linear de dois zeros não é um conjunto gerador bem definido para um valor alvo.
Como conferir os coeficientes obtidos?
Multiplique cada número pelo seu coeficiente e some os resultados. Para 15 e 25 com alvo 10, o par 4 e −2 dá 15 × 4 + 25 × (−2), que é 10, então a combinação está correta.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/linear-combination \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":15,"b":25,"c":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/linear-combination", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 15,
"b": 25,
"c": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/linear-combination",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 15,
"b": 25,
"c": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/linear-combination", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":15,"b":25,"c":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":15,"b":25,"c":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/linear-combination", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 15,
"b": 25,
"c": 10
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.linear_combination",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Contrato de entrada, formato da resposta e comportamento de erro
O par a igual a zero e b igual a zero também é rejeitado, porque uma combinação linear de dois zeros não é um conjunto gerador significativo para um alvo. Em uma instância bem formada mas irresolúvel, possible é false, x e y são omitidos, e reason indica que o mdc não divide o alvo. Exemplo: a igual a quinze, b igual a vinte e cinco, c igual a dez produz mdc cinco, possible true e um par válido x igual a quatro e y igual a menos dois. Exemplo de impossibilidade: a igual a quatro, b igual a seis, c igual a cinco produz mdc dois e possible false porque dois não divide cinco. Envie por POST um corpo JSON com três inteiros obrigatórios: a e b, os coeficientes da combinação, e c, o valor alvo que deseja expressar. Aliases first ou m para a, second ou n para b, e target ou rhs para c são aceitos para clientes de formulário. Cada campo pode chegar como número JSON, string de dígitos com sinal opcional ou bigint dentro do máximo absoluto de inteiros seguros da plataforma; decimais, strings vazias, campos ausentes e valores fora desse intervalo falham com invalid_input nomeando o campo e não são cobrados. Em uma instância resolúvel o corpo inclui a, b e c ecoados; o mdc não negativo; possible true; inteiros x e y; check igual à combinação reconstruída; equation como quinze vezes quatro mais vinte e cinco vezes menos dois igual a dez; strings general_x e general_y que expõem o parâmetro livre t; e uma fórmula breve reafirmando o critério de divisibilidade. Combine a resposta com o seu próprio gerador de passos se precisar de todas as soluções inteiras; este endpoint devolve uma solução particular mais a forma geral, não uma enumeração infinita.
Onde uma calculadora de combinação linear agrega valor de verdade
Cursos de álgebra e teoria dos números atribuem exercícios construtivos de Bézout e equações diofantinas lineares; tutores e plugins LMS precisam de um contrato JSON estável que distinga entrada inválida de um caso genuíno sem solução, para que corretores não deem pontos grátis a respostas vazias.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora de combinação linear?
A ferramenta no navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.