Würfel-Rechner: Volumen, Oberfläche und Diagonalen aus Kante o. a.

Ein Würfel ist ein regelmäßiges Hexaeder: sechs kongruente quadratische Flächen, zwölf gleiche Kanten und acht Ecken, an denen drei Kanten rechtwinklig zusammentreffen. Sobald eine von Kantenlänge, Volumen oder gesamter Oberfläche fest und strikt positiv ist, sind alle klassischen Maßzahlen des Körpers bestimmt. Das Volumen ist die dritte Potenz der Kante, die Oberfläche ist sechsmal das Quadrat der Kante, die Flächendiagonale ist die Kante mal Wurzel aus zwei, und die Raumdiagonale ist die Kante mal Wurzel aus drei. Schüler begegnen diesen Formeln in Raumgeometrie-Hausaufgaben und standardisierten Tests; Hersteller, Verpacker und Ingenieure brauchen dieselben Zahlen, wenn eine Skizze oder Stückliste nur eines dieser drei Maße nennt.

Was ein Würfel ist und welches Einzelmaß den Rest bestimmt

In der euklidischen Raumgeometrie ist ein Würfel bis auf Kongruenz vollständig durch eine einzige positive Längenskala bestimmt. Alle zwölf Kanten teilen diese Länge. Das Volumen ist das Produkt dreier orthogonaler Kanten, also die Kante hoch drei.

Die Gesamtoberfläche summiert die Flächen von sechs identischen Quadraten und ist daher sechsmal das Kantenquadrat. Die Flächendiagonale ist die Hypotenuse eines rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks mit Schenkeln gleich der Kante und daher die Kante mal Wurzel aus zwei. Die Raumdiagonale läuft von einer Ecke zur gegenüberliegenden durch das Innere; durch zweimal Pythagoras oder einmal in drei Dimensionen ist sie die Kante mal Wurzel aus drei.

Kennen Sie stattdessen das Volumen, ist die Kante die reelle Kubikwurzel dieses Volumens. Kennen Sie die Oberfläche, ist die Kante die positive Quadratwurzel der Oberfläche geteilt durch sechs. Keines der drei Felder zu liefern lässt den Körper unterbestimmt; zwei oder drei zu liefern überbestimmt das Problem und kann Inkonsistenzen verbergen, wenn die Zahlen die Würfelrelationen verletzen.

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Wie dieser Rechner Eingaben prüft und die geschlossenen Formeln anwendet

Jedes gelieferte Maß muss eine positive endliche Zahl sein. Die Engine zählt, wie viele der drei Felder vorhanden sind: null schlägt als unterspezifiziert fehl, zwei oder drei als überspezifiziert, und nur ein einziges Feld fährt fort. Ist die Kante bekannt, ist das Volumen Kante hoch drei, die Oberfläche sechsmal Kante zum Quadrat, die Flächendiagonale Kante mal Wurzel aus zwei und die Raumdiagonale Kante mal Wurzel aus drei.

Ist das Volumen bekannt, prüft die Engine zuerst strikt positive Werte; die Kante ist dann die reelle Kubikwurzel des Volumens, wonach die übrigen Metriken denselben Formeln folgen. Ist die Oberfläche bekannt, prüft die Engine Positivität und gewinnt die Kante als positive Quadratwurzel der Oberfläche geteilt durch sechs, bevor Volumen und beide Diagonalen berechnet werden. Sie dürfen jedes konsistente Einheitensystem für die Kante verwenden; Volumen und Fläche werden in den entsprechenden kubischen und quadratischen Einheiten ohne Umrechnung in der Engine ausgedrückt.