Tukey-HSD-Post-hoc: paarweise Vergleiche nach ANOVA, gratis

Nachdem eine einfaktorielle ANOVA die globale Nullhypothese verworfen hat, dass alle Gruppenmittelwerte gleich sind, müssen Forschende dennoch wissen, welche Paare sich unterscheiden. Tukeys „honest significant difference“ (HSD) und ihre Tukey-Kramer-Form für ungleiche Stichprobenumfänge beantworten diese Frage mit einer einzigen versuchsweiten Fehlerrate: Jede paarweise Mittelwertdifferenz wird mit einem kritischen Wert verglichen, der aus dem Residuen-Mittelquadrat, den Gruppengrößen und dem Quantil der studentisierten Spannweite für die Anzahl der Gruppen und die Fehlerfreiheitsgrade gebildet wird. Diese Fähigkeit nimmt zwei oder mehr numerische Gruppen-Arrays entgegen, optionale Bezeichnungen und Alpha, und liefert dann Gruppenmittelwerte, das Residuen-MSE, das kritische q, das gemeinsame HSD bei gleichen Umfängen sowie eine vollständige Paartabelle mit Signifikanzmarkierungen.

Was Tukey HSD nach einer signifikanten ANOVA bedeutet

Die Varianzanalyse prüft, ob sich mindestens ein Mittelwert unter k Gruppen unterscheidet, benennt die Paare jedoch nicht. Gewöhnliche Zweistichproben-t-Tests auf jedes Paar anzuwenden erhöht die Wahrscheinlichkeit eines falschen Positivs, je größer die Zahl der Vergleiche wird. Tukeys Verfahren kontrolliert die versuchsweite Fehlerrate für alle paarweisen Kontraste gleichzeitig über die Verteilung der studentisierten Spannweite: Der kritische Abstand hängt davon ab, wie groß die größte Lücke unter k Mittelwerten unter der Nullhypothese aussähe, skaliert mit dem residualen Standardfehler.

Wenn jede Gruppe denselben Stichprobenumfang n hat, wird dieser Abstand oft als eine einzige „honest significant difference“ geschrieben: HSD gleich q-Alpha von k und residualen Freiheitsgraden mal der Quadratwurzel aus MSE geteilt durch n. Jede absolute Mittelwertdifferenz größer als HSD gilt beim gewählten Alpha als signifikant. Bei ungleichen Stichprobenumfängen ersetzt die Tukey-Kramer-Anpassung das gemeinsame n durch einen paarspezifischen Standardfehler mit eins durch n-i plus eins durch n-j, sodass jeder Vergleich seine eigene kritische Differenz hat und dennoch denselben kritischen q-Wert teilt.

Lehrbücher führen HSD direkt nach der einfaktoriellen ANOVA in Psychologie, Biologie, Landwirtschaft und A/B-Produktexperimenten ein. Die Handrechnung scheitert, wenn das MSE aus der ANOVA-Tabelle falsch abgeschrieben wird, wenn df-Fehler um eins daneben liegt, wenn Bezeichnungen vertauscht werden oder wenn ungleiche n ignoriert werden. Den Weg von den Rohbeobachtungen über MSE bis zu den Paarmarkierungen zu automatisieren beseitigt diese Ausrutscher und legt zugleich die Zwischengrößen offen, die eine ausgearbeitete Lösung erwartet.

Wo Sie es einsetzen und was es kostet

Typische Einsätze sind das Bestätigen, welche Diät-, Dünger- oder UI-Varianten sich nach einer signifikanten einfaktoriellen ANOVA im Mittel trennen, das Erzeugen von Lösungsschlüsseln, die jedes Paar neben seiner kritischen Differenz auflisten, das Vermitteln des Unterschieds zwischen einem globalen F-Test und paarweisen HSD-Entscheidungen sowie das Einspeisen von Signifikanzmarkierungen in Berichte, die bereits rohe Gruppenvektoren speichern. Der Browser-Weg läuft lokal und braucht kein Konto.

Halten Sie mindestens zwei Gruppen mit genügend gruppeninterner Wiederholung für residuale df von mindestens eins vor, bevorzugen Sie das serverseitig berechnete mse und die Vergleiche gegenüber dem erneuten Herleiten von Gleitkomma-Pfaden in ad-hoc-Tabellenkalkulationen, und behandeln Sie das Ergebnis als Post-hoc-Schritt nach der ANOVA und nicht als Ersatz für die Prüfung von Annahmen wie Unabhängigkeit und annähernd vergleichbarer Residualvarianz.