Rechner für den sphärischen Kosinussatz der Seiten
Erhalten Sie die fehlende Seite eines Dreiecks auf einer Kugel: Zwei Bögen von 60° und 80°, die sich unter 70° treffen, ergeben den dritten Bogen in Grad, wo der ebene Kosinussatz danebenläge. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Seite a (°)
- 60
- Seite b (°)
- 80
- Eingeschlossener Winkel (Grad)
- 70
- Seite c (°)
- 67,7578190897
Dieser Rechner für den sphärischen Kosinussatz bestimmt die unbekannte dritte Seite eines Kugeldreiecks, wenn zwei Seitenbögen und ihr eingeschlossener Winkel bekannt sind. Geben Sie alle drei Maße in Grad ein; das Ergebnis wird ebenfalls als Bogenwinkel in Grad ausgegeben. Das Werkzeug eignet sich für Navigation, Geodäsie, Astronomie und geometrische Aufgaben, bei denen der ebene Kosinussatz einen Fehler verursachen würde. Die Berechnung ist deterministisch, benötigt keine externen Daten und verwendet die standardmäßige sphärische Kosinusbeziehung.
Geben Sie Seiten als Winkelbögen statt als Strecken ein
Eine Seite des Kugeldreiecks ist Teil eines Großkreises. Daher erwartet der Rechner jede bekannte Seite als Mittelpunktswinkel in Grad. Liegt Ihnen stattdessen eine Oberflächenstrecke vor, wandeln Sie diese zunächst in einen Winkelbogen um: Teilen Sie die Strecke durch den Kugelradius, um Radiant zu erhalten, und rechnen Sie anschließend in Grad um.
Verwenden Sie für beide Seiten denselben Radius. Bei der Erde hängt die Wahl davon ab, ob Ihre Aufgabe eine mittlere Kugel oder ein anderes Modell voraussetzt. Dieses Werkzeug berechnet sphärische Geometrie und keine ellipsoidischen Geodäten; Breiten- und Längengrade werden nicht verarbeitet, ein Radius wird nicht abgeleitet.
Für eine Strecke rechnen Sie das Ergebnis in Radiant um und multiplizieren es mit demselben Radius.
Verwenden Sie den Winkel zwischen den bekannten Seiten
Der eingeschlossene Winkel ist der Innenwinkel an dem Eckpunkt, an dem sich die beiden bekannten Bögen treffen. Er ist weder ein Anfangskurs noch der Mittelpunktswinkel einer Seite oder ein anderer Dreieckswinkel. Der Rechner wandelt alle Eingaben in Radiant um und wertet cos(c) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos(C) aus.
Anschließend gewinnt er c mit arccos zurück und liefert den kleineren Großkreisbogen in Grad. Da Gleitkommaarithmetik einen theoretisch gültigen Kosinus geringfügig außerhalb des Bereichs von minus eins bis eins ablegen kann, wird der Zwischenwert vor arccos begrenzt. Diese numerische Sicherung ändert die Formel nicht.
Bewahren Sie realistische signifikante Stellen, denn rechnerische Präzision verbessert die Ausgangsmessungen nicht.
Deuten Sie das Ergebnis innerhalb eines Kugelmodells
Bei gewöhnlichen, nicht entarteten Eingaben bezeichnet er die dritte kleinere Großkreisseite gegenüber dem eingeschlossenen Winkel. Setzen Sie ihn nicht ungeprüft einer hochgenauen Geodäte auf der Erde gleich: Die Erde ist keine perfekte Kugel, und lange Routen oder Vermessungen können eine ellipsoidische Lösung erfordern. Der Rechner passt zu Lehrbuchaufgaben, angenäherter globaler Navigation, Himmelskugelberechnungen und ausdrücklich sphärischen Modellen.
Vom ebenen Kosinussatz unterscheidet er sich, weil sphärische Seiten Winkel sind und die Krümmung wirkt. Ein sehr kleines Kugeldreieck nähert sich dem ebenen Verhalten. Ungültige Grenzen, fehlende Werte, Text, NaN und Unendlich werden abgelehnt, damit kein irreführender Bogen entsteht.
Anwendungsfälle
Aufgaben zur Großkreisnavigation
Bestimmen Sie den fehlenden Bogen aus zwei Großkreisabschnitten und ihrem Winkel in einem sphärischen Erdmodell.
Geometrie der Himmelskugel
Berechnen Sie den dritten Winkelabstand eines Kugeldreiecks aus Richtungen oder Koordinatenpolen am Himmel.
Geodäsie und Lehre
Prüfen Sie Aufgaben der sphärischen Trigonometrie oder schaffen Sie eine nachvollziehbare Basis vor einem ellipsoidischen Verfahren.
Häufige Fragen
Kann ich Kilometer oder Meilen als Seiten eingeben?
Nein. Wandeln Sie jede Strecke zunächst mit dem Kugelradius in einen Winkelbogen um und geben Sie diesen in Grad ein.
Welcher Winkel ist der eingeschlossene Winkel?
Es ist der Innenwinkel am gemeinsamen Eckpunkt der Seiten a und b, gegenüber der unbekannten Seite c.
Berechnet das Werkzeug eine Geodäte auf einem Erdellipsoid?
Nein. Es nutzt eine exakte Kugelformel; genaue Navigation und Vermessung können ein Ellipsoidmodell erfordern.
Wie wandle ich das Ergebnis in eine Strecke um?
Rechnen Sie den Bogen von Grad ins Bogenmaß um und multiplizieren Sie ihn mit dem Kugelradius. Verwenden Sie denselben Radius wie bei der Umrechnung Ihrer Ausgangsstrecken, damit alle drei Seiten zusammenpassen.
Warum nicht den gewöhnlichen Kosinussatz verwenden?
Auf einer Kugel sind die Seiten Stücke von Großkreisen, keine Geraden, daher führt die ebene Formel zu Fehlern. Das zählt in Navigation, Geodäsie und Astronomie, wo Routen der Krümmung folgen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/spherical-law-of-cosines-side \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"side_a_degrees":60,"side_b_degrees":80,"included_angle_degrees":70}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/spherical-law-of-cosines-side", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"side_a_degrees": 60,
"side_b_degrees": 80,
"included_angle_degrees": 70
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/spherical-law-of-cosines-side",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"side_a_degrees": 60,
"side_b_degrees": 80,
"included_angle_degrees": 70
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/spherical-law-of-cosines-side", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"side_a_degrees":60,"side_b_degrees":80,"included_angle_degrees":70}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"side_a_degrees":60,"side_b_degrees":80,"included_angle_degrees":70}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/spherical-law-of-cosines-side", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"side_a_degrees": 60,
"side_b_degrees": 80,
"included_angle_degrees": 70
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.spherical_law_of_cosines_side",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Geben Sie Seiten als Winkelbögen statt als Strecken ein
Tragen Sie den ersten Bogen unter side_a_degrees und den zweiten unter side_b_degrees ein; beide Werte müssen größer als null und kleiner als 180 Grad sein.
Verwenden Sie den Winkel zwischen den bekannten Seiten
Geben Sie ihn als included_angle_degrees strikt zwischen null und 180 Grad an. Das Ergebnis wird für stabiles, ausreichend genaues JSON auf zwölf Dezimalstellen gerundet.
Deuten Sie das Ergebnis innerhalb eines Kugelmodells
side_c_degrees ist ein Bogenwinkel zwischen null und 180 Grad. Sie können den Wert in einer weiteren sphärisch-trigonometrischen Rechnung verwenden oder mit Strecke = Radius × side_c_radians in eine Länge umwandeln.
Technische Fragen
Was gibt der Rechner aus?
Er liefert side_c_degrees, die dritte Seite als Großkreisbogenwinkel in Grad, zusammen mit den geprüften Eingaben.
Was kostet eine API-Anfrage?
Eine API-Anfrage kostet $0.002. Den Rechner im Browser können Sie kostenlos verwenden.