Punkt im Dreieck
Der Punkt (1, 1) liegt im Dreieck mit den Ecken (0, 0), (4, 0) und (0, 3), dessen Fläche 6 beträgt. Geben Sie einen Punkt und drei Ecken ein und erfahren Sie, ob er innen oder außen liegt, für Kollisionen, Netze oder Hausaufgaben. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- X
- 1
- Y
- 1
- X1
- 0
- Y1
- 0
- X2
- 4
- Y2
- 0
- Fläche
- 6
Zu entscheiden, ob ein planarer Punkt in einem Dreieck liegt, ist ein zentrales Primitiv der algorithmischen Geometrie. Lernende, die Hausaufgaben prüfen, Spiel-Engines mit Hitboxen, GIS-Werkzeuge, die Stichproben gegen Dreiecksnetze klassifizieren, und CAD-Pipelines, die Keime validieren, brauchen eine schnelle, deterministische Antwort statt einer Handskizze. Diese Punkt-im-Dreieck-Prüfung nimmt die Abfragekoordinaten und die drei Eckpunktpaare entgegen, bildet baryzentrische Gewichte aus signierten Teilflächen und meldet innen (einschließlich Rand) oder außen. Nichtnumerische oder fehlende Koordinaten scheitern ebenfalls und werden nicht abgerechnet.
Was Punkt-im-Dreieck bedeutet und wie baryzentrische Gewichte entscheiden
Ein Dreieck in der Ebene ist die konvexe Hülle dreier nicht kollinearer Eckpunkte A, B und C. Ein Abfragepunkt P liegt in diesem Dreieck, wenn er als konvexe Kombination der drei Eckpunkte geschrieben werden kann: P gleich a·A plus b·B plus c·C mit a, b und c nichtnegativ und a plus b plus c gleich eins. Diese Gewichte a, b und c sind die baryzentrischen Koordinaten von P bezüglich ABC.
Algebraisch entsprechen sie den Verhältnissen der signierten Flächen der drei Teildreiecke PBC, PCA und PAB zur signierten Fläche von ABC. Das Doppelte der signierten Fläche eines Tripels ist das bekannte Kreuzprodukt der Schnürsenkelformel (shoelace), sodass der gesamte Test aus wenigen Multiplikationen und Additionen mit einer einzigen Division durch die Dreiecksfläche besteht. Wenn alle drei Gewichte größer oder gleich null sind, liegt P innen oder auf dem Rand; ist ein Gewicht streng negativ, liegt P außerhalb der gegenüberliegenden Kante.
Sowohl im Uhrzeigersinn als auch gegen den Uhrzeigersinn geordnete Eckpunkte sind zulässig: die signierte Fläche kann das Vorzeichen wechseln, die baryzentrischen Verhältnisse bleiben jedoch konsistent und die Enthaltenseinsentscheidung ebenfalls. Dieser Ansatz vermeidet Steigungsvergleiche, die an vertikalen Kanten scheitern, und vermeidet Ray-Casting-Rauschen, das besser allgemeinen Polygonen mit vielen Seiten vorbehalten bleibt.
Wo eine Punkt-im-Dreieck-Prüfung ihren Nutzen zeigt
Unterrichts- und Tutoring-Plattformen nutzen eine Punkt-im-Dreieck-Prüfung, damit Lernende Hausaufgaben-Tripel ohne Zeichnen und ohne Steigungsarithmetik prüfen können, die an vertikalen Seiten scheitert. Prüfungs- und LMS-Autokorrekturen brauchen ein deterministisches Orakel, das innen gegenüber außen konsistent markiert, Randpunkte als innen behandelt und entartete kollineare Eckpunkte ablehnt statt still false zurückzugeben. Spiel- und Simulationscode führt Hit-Tests dreieckiger Kollisionsprimitive gegen Spieler- oder Projektilproben durch, ohne für ein einziges Dreieck eine volle Physik-Middleware zu laden.
GIS- und Vernetzungspipelines klassifizieren Stichprobenpunkte gegen Delaunay- oder Finite-Elemente-Dreiecke, bevor Attribute interpoliert werden. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht abgerechnet. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie die gerundeten baryzentrischen Gewichte und die Fläche in Tests und Sie erhalten reproduzierbare Enthaltenseinsantworten für Hausaufgaben, Edge-Worker und CI, ohne eine eigene Geometriebibliothek aufzubauen.
Für allgemeine n-Ecke nutzen Sie ein Schwesterwerkzeug zur Polygon-Enthaltenheit; diese Seite deckt die dreiecksspezifische Suchintention ab.
Anwendungsfälle
Unterrichts- und Hausaufgabenprüfungen
Lassen Sie Lernende einen Abfragepunkt und drei Eckpunkte senden und prüfen, ob der Punkt im Dreieck liegt — ohne Handskizzen oder fragile Steigungstests.
Automatische Prüfungs- und LMS-Bewertung
Bewerten Sie Punkt-im-Dreieck-Aufgaben mit einem deterministischen Orakel, das entartete kollineare Eckpunkte ablehnt und Randpunkte als innen zählt.
Häufige Fragen
Wie prüfe ich, ob ein Punkt in einem Dreieck liegt?
Senden Sie endliche Zahlen x,y für die Abfrage und x1,y1,x2,y2,x3,y3 für die drei Eckpunkte.
Was passiert bei einem entarteten Dreieck?
Punkt-im-Dreieck ist für eine Strecke undefiniert; solche Fehler werden nicht abgerechnet.
Spielt die Eckpunktreihenfolge eine Rolle (Uhrzeigersinn oder dagegen)?
Nein. Beide Orientierungen funktionieren. Signierte Flächen wechseln gemeinsam das Vorzeichen, sodass die baryzentrischen Verhältnisse und die Innenentscheidung konsistent bleiben.
Zählt ein Punkt auf einer Kante oder Ecke als innen?
Ja. Ein Punkt genau auf einer Kante oder Ecke gilt als innen und wird als Randpunkt gekennzeichnet, so wie es bei geschlossenen Dreiecken in Musterlösungen und Netzabfragen üblich ist.
Was bedeuten die drei Gewichte im Ergebnis?
Es sind die baryzentrischen Koordinaten des Punktes, eines pro Ecke, und ihre Summe ist immer 1. Sind alle drei null oder größer, liegt der Punkt innen; ist eines negativ, liegt er jenseits der gegenüberliegenden Kante.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/point-in-triangle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x":1,"y":1,"x1":0,"y1":0,"x2":4,"y2":0,"x3":0,"y3":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/point-in-triangle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"x": 1,
"y": 1,
"x1": 0,
"y1": 0,
"x2": 4,
"y2": 0,
"x3": 0,
"y3": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/point-in-triangle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x": 1,
"y": 1,
"x1": 0,
"y1": 0,
"x2": 4,
"y2": 0,
"x3": 0,
"y3": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/point-in-triangle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x":1,"y":1,"x1":0,"y1":0,"x2":4,"y2":0,"x3":0,"y3":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x":1,"y":1,"x1":0,"y1":0,"x2":4,"y2":0,"x3":0,"y3":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/point-in-triangle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"x": 1,
"y": 1,
"x1": 0,
"y1": 0,
"x2": 4,
"y2": 0,
"x3": 0,
"y3": 3
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.point_in_triangle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Entartete Dreiecke mit kollinearen Eckpunkten haben Flächeninhalt null und scheitern mit invalid_input statt einer leeren Vermutung.
Was Punkt-im-Dreieck bedeutet und wie baryzentrische Gewichte entscheiden
Punkte, die genau auf einem Eckpunkt oder einer Kante landen, erzeugen ein Nullgewicht und werden als inside mit on_boundary true gemeldet, entsprechend der üblichen Konvention des geschlossenen Dreiecks in Netzabfragen und Hausaufgabenlösungen.
Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten
Beispiel: Eckpunkte (0,0), (4,0) und (0,3) mit Abfrage (1,1) liefern inside true, weil alle baryzentrischen Gewichte positiv sind und die Dreiecksfläche sechs beträgt. Dasselbe Dreieck mit Abfrage (5,5) liefert inside false, weil mindestens ein Gewicht negativ ist. Kombinieren Sie die Antwort mit Ihrer eigenen Zeichnung, falls Sie eine Skizze brauchen; diese Fähigkeit klassifiziert nur Enthaltensein und liefert weder SVG noch Windungszahlen für allgemeine Polygone noch schrittweise Unterrichtsprosa jenseits der numerischen Felder. Senden Sie einen JSON-Körper mit acht erforderlichen endlichen Zahlen: x und y für den Abfragepunkt, dann x1 und y1 für Eckpunkt A, x2 und y2 für Eckpunkt B sowie x3 und y3 für Eckpunkt C. Jedes Feld darf als JSON-Zahl oder als numerische Zeichenkette eintreffen; fehlende Felder, leere Zeichenketten, NaN, Infinity und nichtnumerischer Text scheitern mit invalid_input und benennen das Feld; diese Fehler werden nicht abgerechnet. Bei Erfolg enthält der Körper den booleschen Wert inside, den booleschen Wert on_boundary, die acht zurückgespiegelten und für stabile Goldens gerundeten Koordinaten, die positive Dreiecksfläche, ein barycentric-Objekt mit den auf zwölf Dezimalstellen gerundeten Gewichten a, b und c sowie method gleich barycentric, damit Clients den Algorithmus neben der Antwort dokumentieren können.
Wo eine Punkt-im-Dreieck-Prüfung ihren Nutzen zeigt
Weil die Implementierung reines Parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Basispreis $0.002 ohne Modell-Token und ohne ausgehendes Netz.
Integrationsbeispiele
Spiele-, GIS- und Netzabfragen
Führen Sie Hit-Tests dreieckiger Primitive durch oder klassifizieren Sie Proben gegen Netzflächen mit einer kleinen Parse-API statt eines vollen Geometrie-Stacks.
Technische Fragen
Zählen Punkte auf der Kante als innen?
Ja. Randpunkte erzeugen ein baryzentrisches Nullgewicht und werden als inside mit on_boundary true gemeldet, entsprechend der Konvention des geschlossenen Dreiecks.
Was kostet die Punkt-im-Dreieck-Prüfung?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen das vorausbezahlte KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingaben werden nicht abgerechnet.