Bingo-Karten-Kombinationen
Klassisches 75-Kugel-Bingo mit freiem Mittelfeld erlaubt 552.446.474.061.128.648.601.600.000 verschiedene Karten. Geben Sie Zahlenbereich und Felder jeder Spalte ein, um einen Kartensatz zu planen oder einmalige Karten zu garantieren. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Zahlenbereiche
- 15, 15, 15, 15, 15
- Felder
- 5, 5, 4, 5, 5
- Spalten
- 5
- Anzahl pro Spalte
- 360.360, 360.360, 32.760, 360.360, 360.360
- Gesamtzahl der Karten
- 552446474061128648601600000
Bingo-Karten-Kombinationen beantworten eine scheinbar einfache Frage: Wie viele physisch unterschiedliche Karten gibt es, wenn man weiß, wie viele Zahlen im Pool jeder Spalte liegen und wie viele Zellen diese Spalte füllen muss? Veranstalter, App-Entwickler und Lehrkräfte nutzen diese Zählung, um Decks zu dimensionieren, Eindeutigkeitsgarantien zu belegen und Fünf-mal-fünf-Layouts mit Freifeld gegen eigene Raster zu vergleichen. Dieser Rechner multipliziert unabhängige Spaltenwahlen —standardmäßig geordnete Zeilenplatzierungen P(n,k), oder ungeordnete Mengen C(n,k), wenn nur die Zahlenmenge zählt— und liefert eine exakte Gesamtsumme als sichere Ganzzahl oder vollständige Dezimalzeichenkette, wenn das Produkt den sicheren JavaScript-Bereich überschreitet. Das klassische US-Bingo mit fünfundsiebzig Kugeln ist das fertige Beispiel: fünf Spalten mit je fünfzehn Zahlen, fünf Zeilen, Freifeld auf N, sodass diese Spalte vier Zahlen braucht, und die Reihenfolge in jeder Spalte zählt — daraus entsteht die berühmte astronomische Kartenzahl.
Wie Spaltenpools zu einer Kartensumme werden
Eine Bingo-Karte ist ein Raster, dessen Spalten aus disjunkten Zahlenbereichen schöpfen. Im Standardspiel mit fünfundsiebzig Kugeln darf die Spalte B nur Zahlen von eins bis fünfzehn zeigen, I von sechzehn bis dreißig, N von einunddreißig bis fünfundvierzig, G von sechsundvierzig bis sechzig und O von einundsechzig bis fünfundsiebzig. Jeder dieser Bereiche ist ein Pool der Größe fünfzehn; eine Fünf-Zeilen-Karte ohne Freifeld würde fünf Zahlen aus jedem Pool setzen, während die übliche Hausregel mit freiem Zentrum die mittlere N-Zelle leer lässt und daher nur vier Zahlen in dieser Spalte platziert.
Weil die Zeilen einer gedruckten Karte geordnet sind, sind zwei Karten mit denselben fünf B-Zahlen, aber anderer vertikaler Reihenfolge, unterschiedliche Karten. Deshalb multipliziert der Standardmodus Permutationen: Für eine Spalte mit Pool n und k gefüllten Zellen ist der Beitrag P(n,k) gleich n Faktoriell durch (n minus k) Faktoriell, berechnet als fallendes Produkt n mal (n minus eins) bis (n minus k plus eins). Spalten sind unabhängig, daher ist die Gesamtzahl der Karten das Produkt dieser Beiträge.
Wenn Sie nur daran interessiert sind, welche Zahlen vorkommen und nicht an ihrer Zeilenreihenfolge, setzen Sie ordered auf false und jede Spalte trägt stattdessen den Binomialkoeffizienten C(n,k) bei.
Anwendungsfälle
Druckauflage und Deckgröße
Berechnen Sie vor der Bestellung physischer Karten die theoretische Gesamtzahl für Ihren Pool und Ihr Freifeld-Layout, damit das gedruckte Deck eine sichere Teilmenge unterschiedlicher Karten bleibt.
Deck-Erzeugung in Bingo-Apps
Säen Sie mobile oder Browser-Bingo-Decks mit einer exakten Obergrenze einzigartiger Karten; vergleichen Sie geordnete und ungeordnete Modi, wenn die Oberfläche Zeilen in Spalten umordnet.
Kombinatorik-Demos im Unterricht
Zeigen Sie P(n,k) gegenüber C(n,k) auf denselben fünfspaltigen Bingo-Pools, damit Lernende sehen, wie Freifeld und Zeilenordnung das Produkt ändern.
Häufige Fragen
Wann soll ordered false sein?
Setzen Sie ordered auf false, wenn zwei Karten mit denselben Zahlen in einer Spalte, aber anderer Zeilenreihenfolge als eine zählen sollen. Dann wird der Binomialkoeffizient C(n,k) statt der Permutationen P(n,k) multipliziert.
Was passiert, wenn cells den pool einer Spalte übersteigt?
Sie können nicht mehr gefüllte Zellen platzieren, als der Pool unterschiedliche Zahlen hat. Ungültige Eingabe wird nicht berechnet.
Wie viele verschiedene Karten gibt es beim 75-Kugel-Bingo?
Mit freiem Mittelfeld gibt es 552.446.474.061.128.648.601.600.000 verschiedene Karten. Jede Spalte zieht ihre Zahlen aus einem Vorrat von 15, und die Reihenfolge in der Spalte zählt.
Warum ändert das freie Mittelfeld die Kartenzahl?
Weil die N-Spalte nur 4 statt 5 Felder füllt. Sie bietet damit 11-mal weniger Anordnungen als jede der anderen Spalten, und die Gesamtzahl der Karten sinkt um denselben Faktor.
Kann ich Karten mit einem anderen Raster berechnen?
Ja. Geben Sie für jede Spalte von links nach rechts an, wie viele Zahlen verfügbar sind und wie viele Felder sie füllt. So vergleichen Sie Ihr eigenes Raster mit der klassischen Karte von fünf mal fünf.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/hobby/game-bingo-combinations \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"pools":[15,15,15,15,15],"cells":[5,5,4,5,5]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/hobby/game-bingo-combinations", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"pools": [
15,
15,
15,
15,
15
],
"cells": [
5,
5,
4,
5,
5
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/hobby/game-bingo-combinations",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"pools": [
15,
15,
15,
15,
15
],
"cells": [
5,
5,
4,
5,
5
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/hobby/game-bingo-combinations", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"pools":[15,15,15,15,15],"cells":[5,5,4,5,5]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"pools":[15,15,15,15,15],"cells":[5,5,4,5,5]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/hobby/game-bingo-combinations", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"pools": [
15,
15,
15,
15,
15
],
"cells": [
5,
5,
4,
5,
5
]
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "hobby.game_bingo_combinations",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Wie Spaltenpools zu einer Kartensumme werden
In beiden Fällen liefert der Endpoint die Zählungen pro Spalte und das Gesamtprodukt, damit Sie Zwischenfaktoren gegen eine Tabelle oder eine Lehrbuchidentität prüfen können.
Eingabevertrag, Antwortfelder und Validierung
Optional ordered ist standardmäßig true; übergeben Sie false, wenn Kombinationen statt Permutationen multipliziert werden sollen. Senden Sie per POST einen JSON-Körper mit zwei erforderlichen Arrays gleicher Länge: pools, die Größe der Zahlenmenge je Spalte von links nach rechts, und cells, wie viele Zellen diese Spalte tatsächlich füllt. Klassisches US-Bingo mit Freifeld ist pools gleich fünfzehn fünfzehn fünfzehn fünfzehn fünfzehn und cells gleich fünf fünf vier fünf fünf. Arrays dürfen unter gängigen Aliasen wie column_pools, ranges, column_cells oder picks gesendet werden. Jeder Eintrag muss eine nichtnegative ganze Zahl innerhalb der veröffentlichten Spalten- und Pool-Grenzen sein; leere Arrays, unterschiedliche Längen, Bruchwerte und jede Spalte, in der cells den pool überschreitet, scheitern mit invalid_input und werden nicht berechnet. Bei Erfolg spiegelt der Körper pools, cells und ordered; meldet columns als gemeinsame Länge; listet column_counts als einzelne P- oder C-Werte (Zahlen, wenn sie sicher passen, sonst Dezimalzeichenketten); gibt total_cards als Produkt in derselben Zahlen- oder Zeichenkettenform an; und enthält eine formula-Zeichenkette, die P(n,k)- oder C(n,k)-Faktoren mit Multiplikationszeichen zur Anzeige verkettet. Große Produkte wie die volle fünfundsiebzig-Kugel-Summe mit Freifeld überschreiten dreiundfünfzig Mantissenbits, daher müssen Clients total_cards als Zahl oder Zeichenkette behandeln und es nie durch unsichere Gleitkommaumwandlung zwingen, wenn sie einen exakten Wert für die Bestandsrechnung brauchen.
Wo Bingo-Karten-Kombinatorik ihren Nutzen hat
Saalbetreiber und Wohltätigkeitsveranstalter nutzen einen Bingo-Karten-Kombinationen-Rechner vor Druckläufen, um zu wissen, ob die gewünschte Deckgröße ein winziger Bruchteil des theoretischen Raums ist oder gefährlich nah am Kollisionsrisiko bei naiver Zufallserzeugung liegt. Mobile Bingo- und Partyspiel-Apps säen Decks offline, indem sie ohne Zurücklegen aus dem kombinatorischen Raum ziehen, und brauchen ein Orakel, das mit den Kombinatorik-Notizen aus dem Unterricht übereinstimmt, nicht eine ungefähre Monte-Carlo-Schätzung. Lehrkräfte, die Permutationen gegen Kombinationen vermitteln, kontrastieren geordnete Spaltenfüllungen mit ungeordneter Mengenauswahl auf demselben pools-Array und schalten ordered um, um zu zeigen, wie Freifeld und volles Raster das Produkt ändern. Eigene Partyvarianten —Drei-mal-drei-Kinderbretter, britische Neunzig-Kugel-Layouts auf Spaltenpools reduziert, oder Themen-Decks mit ungleichen Bereichen— lassen sich sauber auf beliebige pools- und cells-Arrays abbilden, ohne die fünfundsiebzig-Kugel-Legende fest einzucodieren.
Technische Fragen
Wie viele unterschiedliche US-75-Kugel-Bingo-Karten gibt es?
Mit pools [15,15,15,15,15], cells [5,5,4,5,5] (Freifeld) und ordered true ist die Summe P(15,5)^4 × P(15,4) = 552446474061128648601600000 unterschiedliche Karten.
Was bedeuten pools und cells?
pools[i] ist, wie viele Zahlen Spalte i ziehen darf; cells[i] ist, wie viele Zellen diese Spalte füllt. Die Längen müssen übereinstimmen. Klassisches freies N nutzt cells 4 in der mittleren Spalte.
Was kostet der Bingo-Karten-Kombinationen-Rechner?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen das vorausbezahlte KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; Validierungsfehler werden nicht berechnet.