Calcolatrice di Bessel

La funzione di Bessel di prima specie compare nei problemi d'onda, nelle membrane circolari, nelle bande laterali di modulazione di frequenza e nel flusso di calore in un cilindro. Studenti, ingegneri e autori di prove hanno bisogno di J_n(x) per un ordine intero e un argomento reale senza installare una biblioteca completa di funzioni speciali. Questa capacità valuta quel valore con la serie di potenze classica, usando una ricorrenza termine a termine così che i fattoriali isolati non trabocchino mai. Lei invia un ordine intero non negativo e un x reale finito; riceve il valore della funzione insieme alla formula della serie e a un'espressione compatta come J_0(1).

Che cosa è J_n(x) e come si somma la serie di potenze

La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero n, scritta J_n(x), è una soluzione canonica dell'equazione differenziale di Bessel: x al quadrato per y seconda più x per y prima più (x al quadrato meno n al quadrato) per y uguale a zero.

Per ogni intero n non negativo è una funzione intera dell'argomento reale x: pari in x quando n è pari, dispari in x quando n è dispari, e oscilla a |x| grande con un'ampiezza che decade lentamente come la radice di due su pi per x. La serie di potenze da manuale usata qui afferma che J_n(x) è la somma infinita su k di meno uno alla k, divisa per k fattoriale per (k più n) fattoriale, per (x su due) alla potenza due k più n.

Il primo termine è (x su due) alla n su n fattoriale, e ogni termine successivo è il precedente moltiplicato per meno (x su due) al quadrato su (k più uno) per (k più n più uno). Costruire i termini con quel rapporto non materializza mai un fattoriale isolato, così il trabocco intermedio è evitato entro i limiti pubblicati di ordine e di |x|.

In x uguale a zero la serie collassa a uno quando n è zero e a zero quando n è un intero positivo, coincidendo con le identità J_0(0) uguale a uno e J_n(0) uguale a zero per n maggiore di zero. Gli ordini negativi restano fuori da questo valutatore di prima specie a ordine intero: l'attività fallisce la convalida invece di applicare l'identità di riflessione J di meno n uguale a meno uno alla n per J_n, così il contratto pubblico resta un unico ordine non negativo.

La stessa ricorrenza è quella che uno studente scrive a mano per i primi termini di J_0(x) o J_1(x), il che rende il risultato numerico facile da confrontare con uno sviluppo da manuale.

Dove si incontrano le funzioni di Bessel

Guide d'onda, modi propri di un tamburo circolare, bande laterali di modulazione di frequenza e integrali di diffrazione di Kirchhoff valutano J_n in un argomento reale. Le aule usano una calcolatrice della funzione di Bessel perché gli allievi controllino J_0(1), J_1(2) o J_2(5) senza aprire una sessione di algebra computazionale. I generatori di prove necessitano di un oracolo deterministico che rifiuti un ordine negativo invece di applicare in silenzio una formula di riflessione che il programma non ha ancora presentato.

I taccuini di elaborazione del segnale che sviluppano una modulazione di fase periodica in bande laterali di Bessel possono chiamare questo percorso parse invece di impacchettare una biblioteca di funzioni speciali in ogni worker di bordo. I laboratori di flusso di calore e di membrane che confrontano cerchi nodali misurati con gli zeri di J_0 hanno ancora bisogno del valore della funzione in un x vicino per abbozzare il profilo, e questo estremo copre quella valutazione.

Tenga order e |x| entro i limiti pubblicati così la serie di potenze resta ben condizionata in doppia precisione; per argomenti enormi preferisca uno sviluppo asintotico di una biblioteca dedicata. Fissi il campo value arrotondato nei test così una successiva regolazione del tetto del ciclo non cambi in silenzio il contratto pubblico. Le pagine sorelle coprono altre funzioni elementari; questa è pensata per chi cerca una calcolatrice della funzione di Bessel di prima specie.