Calculateur de somme minimale à produit fixe
Pour un produit fixé à 36, la plus petite somme possible de deux nombres positifs est 12, obtenue avec 6 et 6. En général, les deux nombres valent la racine carrée du produit et la somme minimale le double de cette racine. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Produit
- 36
- Premier nombre
- 6
- Deuxième nombre
- 6
- Somme minimale
- 12
Ce calculateur détermine les deux nombres réels positifs dont le produit correspond à la valeur saisie et dont la somme est la plus petite possible. Il renvoie chaque valeur optimale et la somme minimale grâce au cas d’égalité de l’inégalité arithmético-géométrique. Son résultat immédiat et déterministe convient aux exercices d’optimisation, aux vérifications algébriques, aux problèmes de géométrie et à la création automatisée de corrigés, sans recherche numérique ni valeur initiale arbitraire.
Poser le problème d’optimisation à produit fixé
Supposons que les deux nombres positifs soient x et y et que leur produit fixé soit P. La contrainte est xy = P, tandis que la quantité à minimiser est S = x + y. Saisissez P dans le champ product ; ce doit être un nombre fini strictement supérieur à zéro, puisque le problème porte sur deux réels positifs.
La contrainte permet de remplacer y par P/x et d’écrire la fonction d’une variable S(x) = x + P/x, pour x supérieur à zéro. Cette écriture révèle le compromis : si x devient très petit, y doit devenir très grand ; si x devient très grand, il domine lui-même la somme. Un unique équilibre existe entre ces extrêmes.
Le service n’impose aucune unité. Si le produit représente des mètres carrés ou une autre unité composée, conservez l’unité de base correspondante pour chaque nombre et pour leur somme. Seules les valeurs scalaires sont fournies.
Pourquoi des nombres égaux donnent le minimum global
Deux démonstrations classiques justifient le résultat. En analyse, dérivez S(x) = x + P/x pour obtenir S'(x) = 1 - P/x squared. L’annulation de la dérivée donne x squared = P, et la positivité impose x = square root of P.
En remplaçant dans y = P/x, on trouve la même racine carrée positive pour y. La dérivée seconde, 2P/x cubed, est positive sur tout le domaine admis : ce point critique est donc un minimum strict. Le comportement au voisinage de zéro et vers l’infini prouve qu’il est global.
L’inégalité arithmético-géométrique donne une preuve plus courte : pour x et y positifs, (x + y)/2 est au moins égal à la racine carrée de xy. Puisque xy = P, toute somme admissible vaut au moins 2 square root of P, avec égalité exactement lorsque x = y. Le calculateur emploie directement cette formule fermée.
Il n’échantillonne aucun candidat et n’effectue aucune itération ; il n’existe donc ni intervalle de recherche, ni tolérance de convergence, ni risque de retenir un mauvais extremum local.
Lire le résultat et l’utiliser correctement
Pour un produit de 36, les valeurs optimales sont 6 et 6, et la somme minimale vaut 12. Une paire inégale telle que 4 et 9 a elle aussi un produit de 36, mais sa somme vaut 13 : elle illustre le coût d’un éloignement de l’égalité. Le même principe s’applique aux produits qui ne sont pas des carrés parfaits.
Les valeurs optimales peuvent alors être irrationnelles et sont représentées par l’arithmétique flottante standard de JavaScript. Le service ne les arrondit pas, car une interface pédagogique peut demander quatre décimales tandis qu’un calcul ultérieur peut nécessiter toute la précision disponible. N’arrondissez qu’à l’affichage et ne réutilisez pas une valeur arrondie dans un contrôle strict du produit.
Le résultat concerne les réels positifs. Si l’énoncé impose des entiers, des bornes, des nombres négatifs ou plus de deux facteurs, l’ensemble admissible change et ce calculateur ne convient plus. En géométrie, cette formule sert à minimiser le périmètre d’un rectangle d’aire fixée : des côtés égaux donnent le carré.
Pour un exercice d’analyse, vérifiez votre réponse ici, mais présentez aussi la contrainte, la substitution, la dérivée ou l’inégalité, le cas d’égalité et le domaine.
Cas d’usage
Vérifier un exercice d’optimisation
Contrôlez les valeurs critiques et la somme minimale après avoir dérivé manuellement une contrainte de produit fixé.
Concevoir un rectangle de périmètre minimal
Utilisez l’aire fixée comme produit pour confirmer que des côtés égaux minimisent la somme des côtés adjacents, donc le périmètre.
Créer des corrigés déterministes
Produisez des valeurs optimales et des sommes minimales stables sans lancer d’optimiseur itératif.
Questions fréquentes
Quelle formule le calculateur utilise-t-il ?
Chaque nombre optimal est la racine carrée positive du produit fixé, et la somme minimale vaut deux fois cette racine.
Pourquoi les deux nombres optimaux sont-ils égaux ?
L’inégalité arithmético-géométrique atteint l’égalité uniquement lorsque les deux nombres positifs sont égaux ; le calcul différentiel donne la même condition.
Le produit fixé peut-il être nul ou négatif ?
Non. Cette capacité concerne deux nombres réels positifs, dont le produit doit donc être strictement supérieur à zéro.
Ce calculateur traite-t-il la version entière ?
Non. L’optimisation porte sur les réels positifs. Une contrainte d’intégralité peut modifier la meilleure paire admissible si le produit n’est pas un carré parfait.
Quels deux nombres positifs de produit 36 ont la plus petite somme ?
Le couple 6 et 6, de somme 12. Tous deux valent la racine carrée de 36, et tout couple différent de même produit a une somme plus grande, comme le montrent le calcul différentiel ou l’inégalité arithmético-géométrique.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
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}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
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Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Poser le problème d’optimisation à produit fixé
Le calculateur le renvoie sous first_number et second_number, puis donne minimum_sum. Ces libellés distinguent les quantités demandées même si les deux valeurs optimales sont égales.
Questions techniques
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