Perímetro de una elipse: calculadora con la fórmula de Ramanujan

A diferencia del área, que tiene una forma cerrada sencilla, el perímetro de una elipse no tiene una fórmula exacta elemental: involucra una integral elíptica completa de segunda especie. En la práctica nadie evalúa esa integral a mano, porque la aproximación de Ramanujan acierta con un error de una fracción diminuta de porcentaje. Usted envía los semiejes mayor y menor, y recibe el perímetro, calculado de forma determinista, en una sola solicitud. El mismo código se ejecuta gratis en su navegador en esta página.

Por qué el perímetro de la elipse no tiene una fórmula sencilla

Todo el mundo aprende que un círculo de radio r tiene perímetro 2·pi·r, y es natural esperar algo igual de ordenado para una elipse. No existe. El perímetro exacto es 4·a·E(e), donde E es la integral elíptica completa de segunda especie y e es la excentricidad, una función que no se puede escribir solo con aritmética elemental, raíces y pi.

Durante dos siglos los matemáticos publicaron aproximaciones, y la que se impuso es la segunda fórmula de Ramanujan: pi multiplicado por la cantidad tres veces la suma de los ejes menos la raíz cuadrada de (3a+b)(a+3b). Su error relativo en el peor caso es del orden de unas pocas cienmilésimas de porcentaje, incluso para elipses extremadamente aplanadas donde la mayoría de las fórmulas más simples fallan estrepitosamente.

Por eso es la opción estándar en software de ingeniería, núcleos CAD y herramientas de topografía: barata de calcular, precisa mucho más allá de cualquier medición que usted pudiera hacer del objeto físico, y libre de métodos numéricos iterativos.

Entradas, validación y el número que usted recibe

Los dos ejes no necesitan estar ordenados: la fórmula es simétrica en a y b, de modo que pasarlos intercambiados produce el mismo perímetro. Si los ejes son iguales, la elipse es un círculo y el resultado es la circunferencia exacta, algo que la respuesta señala explícitamente.

El perímetro en sí se redondea a seis decimales para que la salida sea estable a nivel de bytes entre máquinas y ejecuciones: la misma solicitud siempre devuelve los mismos bytes, lo cual importa cuando usted guarda resultados en caché o compara salidas en una suite de pruebas. La respuesta también devuelve los ejes y nombra la fórmula utilizada, así que un resultado almacenado sigue siendo autoexplicativo meses después.

Dónde se utiliza y cuánto cuesta

Los perímetros elípticos aparecen dondequiera que los círculos se estiran: la longitud de material necesaria para bordear una mesa o un espejo elíptico, el cable alrededor de un conducto elíptico, la costura de un tanque ovalado, la trayectoria de una órbita planetaria estimada a partir de sus ejes, el contorno de la pista de atletismo de un estadio. La llamada se ejecuta en nuestra red global de borde, no conserva nada y no contiene aleatoriedad ni dependencia del reloj, así que es seguro memorizarla.

Pague cuando automatice — trabajos por lotes sobre catálogos de piezas, validación dentro de un pipeline de diseño, o una aplicación móvil que necesita la respuesta lejos de un libro de texto — y haga prototipos gratis hasta entonces.