Périmètre d'une ellipse : calcul en ligne avec la formule de Ramanujan

Contrairement à l'aire, qui possède une formule exacte simple, le périmètre d'une ellipse n'admet aucune formule exacte élémentaire — il fait intervenir une intégrale elliptique complète de seconde espèce. En pratique, personne n'évalue cette intégrale à la main, car l'approximation de Ramanujan donne un résultat exact à une infime fraction de pour cent près. Vous envoyez les demi-axes majeur et mineur, et vous recevez le périmètre, calculé de façon déterministe, en une seule requête. Le même code s'exécute gratuitement dans votre navigateur sur cette page.

Pourquoi le périmètre de l'ellipse n'a pas de formule simple

Tout le monde apprend qu'un cercle de rayon r a un périmètre de 2·pi·r, et il est naturel d'attendre quelque chose d'aussi élégant pour une ellipse. Il n'en existe pas. Le périmètre exact vaut 4·a·E(e), où E est l'intégrale elliptique complète de seconde espèce et e l'excentricité — une fonction qui ne peut pas s'écrire avec la seule arithmétique élémentaire, les racines et pi.

Pendant deux siècles, les mathématiciens ont publié des approximations, et celle qui s'est imposée est la seconde formule de Ramanujan : pi multiplié par la quantité trois fois la somme des axes moins la racine carrée de (3a+b)(a+3b). Son erreur relative dans le pire des cas est de l'ordre de quelques cent-millièmes de pour cent, même pour des ellipses extrêmement aplaties où la plupart des formules plus simples échouent lamentablement.

Cela en fait le choix standard dans les logiciels d'ingénierie, les noyaux de CAO et les outils d'arpentage : peu coûteuse à calculer, précise bien au-delà de toute mesure que vous pourriez faire de l'objet physique, et exempte de méthodes numériques itératives. Ce point de terminaison implémente exactement cette formule, avec validation des entrées et arrondi stable, de sorte que le nombre que vous voyez ici est celui que vos appels automatisés verront.

Les entrées, leur validation et le nombre renvoyé

Les deux axes n'ont pas besoin d'être triés : la formule est symétrique en a et b, donc les passer dans l'autre ordre donne le même périmètre. Si les axes sont égaux, l'ellipse est un cercle et le résultat est la circonférence exacte, ce que la réponse indique explicitement.

Le périmètre lui-même est arrondi à six décimales afin que la sortie soit stable à l'octet près d'une machine et d'une exécution à l'autre — la même requête renvoie toujours les mêmes octets, ce qui compte lorsque vous mettez des résultats en cache ou comparez des sorties dans une suite de tests. La réponse rappelle également les axes et nomme la formule utilisée, de sorte qu'un résultat conservé reste explicite de lui-même des mois plus tard.

Où il est utilisé et combien il coûte

Les périmètres elliptiques apparaissent partout où les cercles s'étirent : la longueur de matériau nécessaire pour border une table ou un miroir elliptique, le câble autour d'un conduit elliptique, la soudure d'un réservoir ovale, la trajectoire d'une orbite planétaire estimée à partir de ses axes, le bord d'une piste d'athlétisme de stade. L'appel s'exécute sur notre réseau mondial en périphérie, ne conserve rien et ne dépend ni du hasard ni de l'horloge, il est donc sûr de le mémoriser.

Payez quand vous automatisez — traitements par lots sur des catalogues de pièces, validation au sein d'une chaîne de conception, ou application mobile qui a besoin de la réponse sans manuel scolaire — et prototypez gratuitement jusque-là.