División de enteros gaussianos: cociente y resto
Al dividir 17 + 9i entre 4 − 3i se obtiene el cociente 2 + 3i y el resto 3i, cuya norma 9 es menor que la del divisor, 25. Esta calculadora hace esa división exacta con resto para cualquier entero gaussiano. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Dividendo (parte real)
- 17
- Dividendo (parte imaginaria)
- 9
- Divisor (parte real)
- 4
- Divisor (parte imaginaria)
- -3
- Norma del divisor
- 25
- Norma del resto
- 9
La división de enteros gaussianos opera con números cuyas partes real e imaginaria son enteras. Introduzca los cuatro coeficientes del dividendo y de un divisor no nulo; la calculadora devolverá un cociente gaussiano y el resto exacto. También mostrará ambas normas para que usted pueda verificar la condición euclídea. El cálculo emplea aritmética entera exacta, no aproximaciones de coma flotante, y aplica una regla estable cuando una coordenada queda justo entre dos enteros.
Represente dividendo y divisor mediante coeficientes enteros
Un entero gaussiano tiene la forma a + bi, donde a y b son enteros ordinarios e i al cuadrado vale menos uno. Se admiten coeficientes negativos y cualquiera puede valer cero, pero los dos coeficientes del divisor no pueden ser cero a la vez. Por ejemplo, 17 y 9 representan 17 + 9i, mientras que 4 y -3 representan 4 - 3i.
Los campos separados evitan ambigüedades de signos, espacios o términos omitidos, y resultan cómodos para programas que guardan números complejos como pares de coordenadas. Cada valor debe ser un entero dentro del intervalo publicado. La salida usa la misma forma explícita: quotient.real y quotient.imag dan el cociente, y remainder.real y remainder.imag, el resto.
Así puede reconstruir el dividendo sin interpretar una cadena matemática.
Comprenda cómo se elige el cociente euclídeo
Primero se considera la razón compleja exacta entre dividendo y divisor. Al multiplicar por el conjugado del divisor, cada coordenada se expresa como una fracción cuyo denominador positivo es la norma c al cuadrado más d al cuadrado. Después se redondea cada coordenada racional al entero más cercano.
La implementación compara numeradores y denominadores enteros directamente, de modo que ningún error binario desplaza un valor próximo a la mitad. Si una coordenada queda exactamente a mitad de camino, se redondea alejándose de cero. Esta convención es determinista; otra división euclídea válida podría elegir un cociente distinto en el borde, pero conservaría la identidad y la desigualdad de normas.
Qué puede hacer con ella
Ejecutar el algoritmo euclídeo gaussiano
Use cada resto como siguiente divisor al calcular máximos comunes divisores entre enteros gaussianos.
Comprobar ejercicios de álgebra abstracta
Verifique un cociente y resto propuestos mediante la identidad exacta y las normas informadas.
Crear herramientas simbólicas deterministas
Aplique una convención explícita para mitades cuando un programa requiera resultados reproducibles.
Preguntas frecuentes
¿Qué es un entero gaussiano?
Es un número complejo a + bi cuyos coeficientes real a e imaginario b son enteros.
¿Puede ser cero el divisor?
No. Si ambos coeficientes del divisor son cero, se devuelve un error de entrada no válida.
¿Por qué otras calculadoras pueden dar otro cociente en un empate?
Una coordenada situada exactamente entre enteros admite varias elecciones cercanas válidas. Aquí las mitades se redondean siempre alejándose de cero.
¿Cómo sé si el resto es euclídeo?
Para una entrada válida, la norma del resto es estrictamente menor.
¿Se usa aritmética compleja de coma flotante?
No. Los productos, las decisiones de redondeo racional y las restas utilizan aritmética entera exacta.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-divide \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"dividend_real":17,"dividend_imag":9,"divisor_real":4,"divisor_imag":-3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-divide", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"dividend_real": 17,
"dividend_imag": 9,
"divisor_real": 4,
"divisor_imag": -3
})
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-divide",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"dividend_real": 17,
"dividend_imag": 9,
"divisor_real": 4,
"divisor_imag": -3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-divide", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"dividend_real":17,"dividend_imag":9,"divisor_real":4,"divisor_imag":-3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"dividend_real":17,"dividend_imag":9,"divisor_real":4,"divisor_imag":-3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-divide", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"dividend_real": 17,
"dividend_imag": 9,
"divisor_real": 4,
"divisor_imag": -3
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.gaussian_integer_divide",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Represente dividendo y divisor mediante coeficientes enteros
Indique a en dividend_real y b en dividend_imag. Describa c + di mediante divisor_real y divisor_imag.
Comprenda cómo se elige el cociente euclídeo
Finalmente, el resto se obtiene mediante la resta exacta dividendo menos divisor por cociente. divisor_norm y remainder_norm permiten confirmar que la norma del resto es estrictamente menor que la del divisor.
Verifique resultados y aplíquelos en teoría de números
Para comprobar una respuesta, multiplique el cociente devuelto por el divisor original y sume el resto. Ambas deben reproducir exactamente el dividendo. Un divisor cero se rechaza. La coordenada real es divisor_real por quotient.real menos divisor_imag por quotient.imag, más remainder.real. La imaginaria es divisor_real por quotient.imag más divisor_imag por quotient.real, más remainder.imag. Compare además remainder_norm con divisor_norm: la primera siempre será menor para un divisor válido. Estas propiedades permiten usar la operación como paso repetido del algoritmo de máximo común divisor gaussiano, en ejercicios sobre dominios euclídeos o en sistemas simbólicos que necesiten una decisión estable en los bordes. No intervienen red, azar ni reloj, por lo que una entrada idéntica produce el mismo JSON. Las llamadas API cuestan $0.002; en un navegador compatible se ejecuta el mismo núcleo determinista.
Preguntas técnicas
¿Cuánto cuesta un cálculo por API?
Cada solicitud API cuesta $0.002. La calculadora del navegador puede ejecutar localmente el mismo núcleo.