Calculadora del símbolo de Jacobi
El símbolo de Jacobi (5/13) vale −1, lo que indica que 5 no es un cuadrado módulo 13. Escriba cualquier entero y un denominador impar positivo y obtendrá −1, 0 o +1 mediante la reciprocidad cuadrática, sin factorizar antes el denominador. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Primer texto
- 5
- N
- 13
- Valor Jacobi
- -1
- Símbolo
- -1
El símbolo de Jacobi (a/n) extiende el símbolo de Legendre desde módulos primos a cualquier entero positivo impar n. Devuelve 0 cuando a y n comparten un factor común mayor que uno, y en caso contrario +1 o −1 según el producto de los símbolos de Legendre sobre los factores primos de n, sin exigir factorizar n de antemano. Esta calculadora implementa el algoritmo clásico de reciprocidad cuadrática: elimina potencias de dos del numerador, aplica la ley suplementaria de (2/n), intercambia con el signo de reciprocidad cuando ambos son 3 módulo 4, y reduce.
Qué significa el símbolo de Jacobi (a/n)
Para un entero positivo impar n y cualquier entero a, el símbolo de Jacobi (a/n) se define de forma multiplicativa a partir del símbolo de Legendre. Cuando n es un primo impar p, Jacobi coincide con Legendre: (a/p) vale 0 si p divide a, +1 si a es un residuo cuadrático no nulo módulo p, y −1 si a es un no residuo cuadrático módulo p.
Cuando n se factoriza como producto de primos impares, (a/n) es el producto de los símbolos de Legendre de a en esos primos (con multiplicidad). En consecuencia (a/n) = 0 exactamente cuando gcd(a, n) es mayor que uno; si el símbolo es −1 entonces a no es un cuadrado módulo n; pero si el símbolo es +1, a aún puede no ser un cuadrado cuando n es compuesto: Jacobi es una condición necesaria de residualidad cuadrática, no siempre suficiente.
El valor es completamente multiplicativo en ambos argumentos (con las salvedades habituales sobre el dominio de n), y las leyes de la reciprocidad cuadrática dan una vía eficiente para evaluarlo: reduzca a módulo n a un residuo no negativo, separe factores de dos con (2/n) = (−1)^((n²−1)/8), y cuando ambas partes impares actuales son 3 módulo 4 invierta el signo en cada intercambio.
Ese procedimiento nunca factoriza n y termina en un número logarítmico de pasos aritméticos, por eso los cálculos a mano y las implementaciones de máquina comparten el mismo algoritmo de libro. Los numeradores negativos se reducen al sistema de residuos estándar antes del bucle, de modo que (−1/n) sigue automáticamente la ley suplementaria (−1)^((n−1)/2).
Esta capacidad rechaza n par y n menor que 1 porque el símbolo de Jacobi clásico no está definido para esos denominadores; el símbolo de Kronecker amplía la noción, pero es otra herramienta con otra intención de búsqueda.
Límites, rendimiento y dónde encaja
El algoritmo de reciprocidad realiza una cantidad constante de aritmética modular por bit de las entradas, así que el coste escala con la longitud en bits de n y no con una factorización por prueba de n. Los docentes la usan para verificar cálculos manuales de (a/n) antes de que los alumnos entreguen demostraciones.
Los desarrolladores la integran en tests de propiedades para andamiaje al estilo Solovay–Strassen, en solucionadores de puzzles y CTF que necesitan un carácter cuadrático rápido, y en pipelines que no deben reimplementar la reciprocidad en cada lenguaje.
Qué puede hacer con ella
Comprobar tareas y respuestas de concurso (a/n)
Alumnos y entrenadores pueden verificar cálculos del símbolo de Jacobi por reciprocidad cuadrática sin rastrear a mano cada cambio de signo ni confiar en una calculadora que pierde precisión entera.
Andamiaje de tests de primalidad y residualidad
Scripts que necesitan un paso determinista de Jacobi para demos Solovay–Strassen, comprobaciones del criterio de Euler o aserciones de clases de residuo pueden llamar a esto en lugar de incluir su propio bucle BigInt.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el símbolo de Jacobi?
Es una función de valor entero (a/n) para n positivo impar que generaliza el símbolo de Legendre. Esta calculadora devuelve −1, 0 o +1 como jacobi (y el mismo valor como symbol).
¿Por qué n debe ser impar y al menos 1?
El símbolo de Jacobi clásico solo se define para denominadores positivos impares.
¿(a/n)=1 significa que a es un cuadrado módulo n?
No siempre. Si el símbolo es −1, a no es residuo cuadrático módulo n. Si es +1, a aún puede no ser un cuadrado cuando n es compuesto. Cuando n es primo, Jacobi coincide con Legendre y +1 sí implica un cuadrado no nulo.
¿Cómo funciona la calculadora del símbolo de Jacobi?
Usa la reciprocidad cuadrática sobre BigInt: reduce a módulo n, elimina factores de 2 con la ley de (2/n), intercambia con un cambio de signo cuando ambas partes son 3 módulo 4, y termina cuando la cadena de restos llega a 0.
¿Es gratuita la calculadora del símbolo de Jacobi?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/jacobi-symbol \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":"5","n":"13"}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/jacobi-symbol", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": "5",
"n": "13"
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/jacobi-symbol",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": "5",
"n": "13"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/jacobi-symbol", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":"5","n":"13"}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":"5","n":"13"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/jacobi-symbol", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": "5",
"n": "13"
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.jacobi_symbol",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_digits | 2048 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Úsela en tareas de teoría de números, comprobaciones de concursos, andamiaje de tests de primalidad y pasos deterministas de API que necesitan (a/n) exacto sin punto flotante ni scripts ad hoc.
Cómo invocar la API y leer el resultado
En caso de éxito la respuesta devuelve a y n como cadenas decimales normalizadas, jacobi como el entero −1, 0 o 1, y symbol como el mismo valor en cadena para clientes que prefieren campos de texto. Envíe un cuerpo JSON con dos campos obligatorios: a (el numerador) y n (el denominador positivo impar). Cada uno puede ser una cadena de entero decimal o un número JSON; prefiera cadenas cuando los valores superen el rango seguro de enteros de JavaScript. Se aceptan los alias numerator o top para a, y denominator, modulus o m para n, de modo que formularios y clientes manuales compartan un solo contrato. Comprobaciones clásicas: a=5 y n=13 produce jacobi −1; a=2 y n=15 produce +1; a=1001 y n=9907 produce −1; a=0 y n=9 produce 0; a=1 y cualquier n impar produce +1. La validación fallida —campos ausentes, no enteros, fracciones, n par, n menor que 1, o un valor más largo que el límite de dígitos publicado— devuelve invalid_input y nunca se cobra. El precio es un $0.002 fijo por petición exitosa (ítem unitario con precio marginal cero).
Límites, rendimiento y dónde encaja
Esta capacidad limita a y n a 2048 dígitos decimales cada uno —suficiente para problemas de concurso, demos criptográficas de aula y tareas multiprecisión—, pero lo bastante acotado para que BigInt puro en Worker siga siendo interactivo. Si necesita el símbolo de Kronecker para denominadores pares o cero, una biblioteca completa de retículos de clases de residuo, o primitivas criptográficas en tiempo constante, use una pila multiprecisión dedicada; esta herramienta ligera de parse es la calculadora y el paso de API compartidos para la evaluación exacta de Jacobi. Combínela con herramientas de exponenciación modular o inversa cuando un flujo necesite el kit modular más amplio; este endpoint responde solo a la pregunta de Jacobi para que la intención de búsqueda quede clara y la respuesta sea mínima.
Casos de integración
CTF, puzzles y pipelines de teoría de números
Autores y solucionadores de retos que necesitan (a/n) exacto para n impar obtienen una API estable y una herramienta gratuita en el navegador con el mismo núcleo, con invalid_input claro cuando n es par.