Calculadora do símbolo de Jacobi
O símbolo de Jacobi (5/13) vale −1, o que mostra que 5 não é um quadrado módulo 13. Digite qualquer inteiro e um denominador ímpar positivo e receba −1, 0 ou +1 pela reciprocidade quadrática, sem fatorar o denominador antes. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Primeiro texto
- 5
- N
- 13
- Valor Jacobi
- -1
- Símbolo
- -1
O símbolo de Jacobi (a/n) estende o símbolo de Legendre de módulos primos para qualquer inteiro positivo ímpar n. Retorna 0 quando a e n compartilham um fator comum maior que um e, caso contrário, +1 ou −1 conforme o produto dos símbolos de Legendre sobre os fatores primos de n — sem exigir que você fatore n antes. Esta calculadora implementa o algoritmo clássico de reciprocidade quadrática: remove potências de dois do numerador, aplica a lei suplementar de (2/n), troca com o sinal de reciprocidade quando ambos são 3 mod 4 e reduz.
O que o símbolo de Jacobi (a/n) significa
Para um inteiro positivo ímpar n e qualquer inteiro a, o símbolo de Jacobi (a/n) é definido multiplicativamente a partir do símbolo de Legendre. Quando n é um primo ímpar p, Jacobi coincide com Legendre: (a/p) é 0 se p divide a, +1 se a é um resíduo quadrático não nulo módulo p, e −1 se a é um não resíduo quadrático módulo p. Quando n se fatora como produto de primos ímpares, (a/n) é o produto dos símbolos de Legendre de a nesses primos (com multiplicidade).
Consequentemente (a/n) = 0 precisamente quando gcd(a, n) é maior que um; se o símbolo é −1 então a não é um quadrado mod n; mas se o símbolo é +1, a ainda pode deixar de ser um quadrado quando n é composto — assim Jacobi é condição necessária de residualidade quadrática, não sempre suficiente.
O valor é completamente multiplicativo em ambos os argumentos (com as ressalvas usuais no domínio de n), e as leis da reciprocidade quadrática dão uma via eficiente para avaliá-lo: reduza a módulo n a um resíduo não negativo, separe fatores de dois com (2/n) = (−1)^((n²−1)/8), e quando ambas as partes ímpares atuais são 3 mod 4 inverta o sinal em cada troca.
Esse procedimento nunca fatore n e termina em um número logarítmico de passos aritméticos, por isso cálculos manuais e implementações de máquina compartilham o mesmo algoritmo de livro. Numeradores negativos são reduzidos ao sistema de resíduos padrão antes do laço, de modo que (−1/n) segue automaticamente a lei suplementar (−1)^((n−1)/2). Esta capacidade rejeita n par e n menor que 1 porque o símbolo de Jacobi clássico não é definido para esses denominadores; o símbolo de Kronecker estende a noção, mas é outra ferramenta com outra intenção de busca.
Limites, desempenho e onde se encaixa
O algoritmo de reciprocidade realiza uma quantidade constante de aritmética modular por bit das entradas, então o custo escala com o comprimento em bits de n e não com uma fatoração por tentativa de n. Professores a usam para verificar cálculos manuais de (a/n) antes que os alunos entreguem provas. Desenvolvedores a conectam a testes de propriedades para esqueleto no estilo Solovay–Strassen, a solucionadores de puzzles e CTF que precisam de um caráter quadrático rápido, e a pipelines que não devem reimplementar a reciprocidade em cada linguagem.
Casos de uso
Conferir tarefas e respostas de competição (a/n)
Alunos e treinadores podem verificar cálculos do símbolo de Jacobi por reciprocidade quadrática sem rastrear à mão cada inversão de sinal nem confiar em calculadora que perde precisão inteira.
Esqueleto de testes de primalidade e residualidade
Scripts que precisam de um passo determinístico de Jacobi para demos Solovay–Strassen, checagens do critério de Euler ou asserções de classes de resíduo podem chamar isto em vez de enviar o próprio laço BigInt.
Perguntas frequentes
O que é o símbolo de Jacobi?
É uma função de valor inteiro (a/n) para n positivo ímpar que generaliza o símbolo de Legendre. Esta calculadora retorna −1, 0 ou +1 como jacobi (e o mesmo valor como symbol).
(a/n)=1 significa que a é um quadrado mod n?
Nem sempre. Se o símbolo é −1, a não é resíduo quadrático mod n. Se é +1, a ainda pode deixar de ser um quadrado quando n é composto. Quando n é primo, Jacobi coincide com Legendre e +1 de fato implica um quadrado não nulo.
Como funciona a calculadora do símbolo de Jacobi?
Usa reciprocidade quadrática sobre BigInt: reduz a mod n, remove fatores de 2 com a lei de (2/n), troca com inversão de sinal quando ambas as partes são 3 mod 4, e termina quando a cadeia de restos atinge 0.
A calculadora do símbolo de Jacobi é grátis?
A ferramenta do navegador é grátis e roda localmente.
Quando o símbolo de Jacobi vale zero?
Vale zero quando a e n têm um fator comum maior que 1. Por exemplo, (0/9) dá 0. Nos demais casos, o resultado é sempre +1 ou −1.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/jacobi-symbol \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":"5","n":"13"}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/jacobi-symbol", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": "5",
"n": "13"
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/jacobi-symbol",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": "5",
"n": "13"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/jacobi-symbol", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":"5","n":"13"}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":"5","n":"13"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/jacobi-symbol", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": "5",
"n": "13"
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.jacobi_symbol",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_digits | 2048 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Use-a em tarefas de teoria dos números, checagens de competição, esqueleto de testes de primalidade e passos determinísticos de API que precisam de (a/n) exato sem ponto flutuante nem scripts ad hoc.
Como chamar a API e ler o resultado
Em caso de sucesso a resposta ecoa a e n como strings decimais normalizadas, jacobi como o inteiro −1, 0 ou 1, e symbol como o mesmo valor em string para clientes que preferem campos de texto. Envie um corpo JSON com dois campos obrigatórios: a (o numerador) e n (o denominador positivo ímpar). Cada um pode ser uma string de inteiro decimal ou um número JSON; prefira strings quando os valores excederem o intervalo seguro de inteiros do JavaScript. Os aliases numerator ou top para a, e denominator, modulus ou m para n, são aceitos para que formulários e clientes manuais compartilhem um único contrato. Checagens clássicas: a=5 e n=13 produz jacobi −1; a=2 e n=15 produz +1; a=1001 e n=9907 produz −1; a=0 e n=9 produz 0; a=1 e qualquer n ímpar produz +1. Validação falha — campos ausentes, não inteiros, frações, n par, n menor que 1, ou valor mais longo que o limite de dígitos publicado — retorna invalid_input e nunca é cobrada. O preço é um US$ 0,002 fixo por requisição bem-sucedida (item unitário com preço marginal zero).
Limites, desempenho e onde se encaixa
Esta capacidade limita a e n a 2048 dígitos decimais cada — o suficiente para problemas de competição, demos criptográficas de sala e tarefas multiprecisão —, mas o bastante limitado para que BigInt puro em Worker permaneça interativo. Se você precisa do símbolo de Kronecker para denominadores pares ou zero, de uma biblioteca completa de reticulados de classes de resíduo, ou de primitivas criptográficas em tempo constante, use uma pilha multiprecisão dedicada; esta ferramenta leve de parse é a calculadora e o passo de API compartilhados para a avaliação exata de Jacobi. Combine-a com ferramentas de exponenciação modular ou inversa quando um fluxo precisar do kit modular mais amplo; este endpoint responde apenas à pergunta de Jacobi para que a intenção de busca fique clara e a resposta seja mínima.
Casos de integração
CTF, puzzles e pipelines de teoria dos números
Autores e solucionadores de desafios que precisam de (a/n) exato para n ímpar obtêm uma API estável e uma ferramenta gratuita no navegador com o mesmo núcleo, com invalid_input claro quando n é par.
Perguntas técnicas
Por que n deve ser ímpar e pelo menos 1?
O símbolo de Jacobi clássico só é definido para denominadores positivos ímpares. n par ou menor que 1 retorna invalid_input; use uma ferramenta do símbolo de Kronecker se precisar dessa extensão.