Produto para soma de cossenos
Transforme um produto de cossenos em uma soma fácil de integrar ou simplificar: cos 60° × cos 30° vira ½[cos 30° + cos 90°], e as duas formas dão o mesmo valor. Você também vê os ângulos de diferença e de soma. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Ângulo a
- 60 deg
- Ângulo b
- 30
- Identidade
- cos(A) cos(B) = 1/2[cos(A - B) + cos(A + B)] deg
- Expressão original
- cos(60°) cos(30°)
- Expressão transformada
- 1/2[cos(30°) + cos(90°)]
- Ângulo da diferença
- 30
A calculadora de produto para soma de cossenos reescreve o produto de dois cossenos como metade da soma de dois termos de cosseno. Informe os ângulos A e B em graus ou radianos, e ela aplicará cos(A) cos(B) = 1/2[cos(A - B) + cos(A + B)]. A resposta mostra a expressão original, a expressão transformada, os ângulos de soma e diferença e valores numéricos iguais para as duas formas. É útil para conferir álgebra, preparar integrais, simplificar expressões trigonométricas e entender exatamente a origem de cada termo da identidade.
Informe os dois ângulos dos cossenos
Comece com uma expressão que seja exatamente o produto de dois fatores de cosseno, como cos(60°) cos(30°). Coloque o primeiro ângulo em A e o segundo em B; depois selecione graus ou radianos para ambos. A calculadora exige ângulos numéricos finitos porque foi feita para executar uma transformação precisa e fornecer um valor conferido, não para adivinhar como uma expressão simbólica irrestrita deve ser interpretada.
Ângulos negativos e ângulos maiores que uma volta são válidos; como o cosseno é periódico, você não precisa reduzi-los antes. Mantenha as duas entradas na mesma unidade. Por exemplo, não informe 60 em graus e pi/6 como se fosse um valor numérico em radianos na mesma solicitação.
Se a expressão de origem tiver um coeficiente fora do produto, transforme aqui o produto de cossenos e depois multiplique todo o lado direito retornado por esse coeficiente externo. Isso mantém a aplicação da identidade transparente e evita que um coeficiente seja perdido no cálculo manual.
Interprete a transformação de produto para soma
A regra aplicada é cos(A) cos(B) = 1/2[cos(A - B) + cos(A + B)]. Primeiro, a calculadora subtrai B de A para encontrar o ângulo de diferença; depois, soma A e B para encontrar o ângulo de soma. Ela coloca esses dois ângulos em termos de cosseno separados e multiplica a soma deles por um meio.
A ordem só interfere na diferença exibida: trocar A por B transforma A - B em B - A, mas o cosseno é uma função par, portanto cos(B - A) é igual a cos(A - B) e o valor final permanece o mesmo. Os parênteses e o fator externo de um meio são indispensáveis: esse fator multiplica a soma dos dois termos, e não apenas o primeiro.
Confira o valor e use o resultado
Os dois devem coincidir, exceto por um arredondamento de ponto flutuante inofensivo, pois a transformação é uma identidade. Os valores são arredondados para doze casas decimais, evitando que um zero teórico apareça como um resíduo minúsculo em notação científica. A forma transformada é especialmente útil ao integrar produtos de funções trigonométricas, já que uma soma de termos de cosseno individuais costuma ser mais fácil de integrar que um produto.
Ela também ajuda em análise de Fourier, cálculos de sinais e exercícios que pedem uma reescrita, não apenas uma avaliação. Preserve a unidade selecionada ao usar os ângulos combinados em outro lugar: a diferença e a soma são retornadas na mesma unidade das entradas. Se você precisar de uma forma simbólica exata com pi, use a identidade exibida como modelo algébrico; esta calculadora avalia intencionalmente ângulos numéricos finitos.
Casos de uso
Prepare uma integral trigonométrica
Reescreva um produto de cossenos como soma antes de integrar cada termo separadamente.
Confira um exercício de identidades
Compare a expressão substituída e os dois valores numéricos para encontrar erros de sinal ou do fator um meio.
Analise frequências combinadas
Revele os componentes de cosseno de frequência de diferença e de soma produzidos por dois ângulos.
Perguntas frequentes
Qual identidade a calculadora utiliza?
Ela utiliza cos(A) cos(B) = 1/2[cos(A - B) + cos(A + B)].
Posso usar graus e radianos?
Sim. Selecione deg ou rad e use a mesma unidade para os dois ângulos informados.
A ferramenta aceita variáveis ou expressões com pi?
Não. As entradas devem ser ângulos numéricos finitos. A identidade retornada fornece o modelo para trabalhos simbólicos.
Como escrever cos 60° × cos 30° como uma soma?
Subtraia os ângulos para obter 30° e some-os para obter 90°; depois tire metade da soma dos cossenos: ½[cos 30° + cos 90°]. A calculadora mostra que as duas formas dão o mesmo número.
A ordem dos dois ângulos importa?
Não para o resultado. Ao trocar a ordem, A − B vira B − A, mas o cosseno é par, então cos(B − A) é igual a cos(A − B) e o valor final continua o mesmo.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/product-to-sum-coscos \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"angle_a":60,"angle_b":30}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/product-to-sum-coscos", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"angle_a": 60,
"angle_b": 30
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/product-to-sum-coscos",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"angle_a": 60,
"angle_b": 30
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/product-to-sum-coscos", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"angle_a":60,"angle_b":30}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"angle_a":60,"angle_b":30}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/product-to-sum-coscos", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"angle_a": 60,
"angle_b": 30
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.product_to_sum_coscos",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Interprete a transformação de produto para soma
O resultado inclui um campo com a identidade padrão e expressões com seus números já substituídos. difference_angle e sum_angle também aparecem separadamente, facilitando a conferência dos sinais antes de copiar a expressão para um exercício, uma demonstração ou uma etapa de integração.
Confira o valor e use o resultado
O campo original_value calcula diretamente cos(A) vezes cos(B). O campo transformed_value calcula de modo independente a metade da soma de cos(A - B) e cos(A + B).
Perguntas técnicas
Por que original_value e transformed_value são retornados?
Eles calculam as duas formas de modo independente e oferecem uma conferência numérica da transformação.
Quanto custa uma solicitação à API?
O preço-base da API é US$ 0,002 por solicitação. A calculadora no navegador é gratuita nesta página.