Calculadora da altura da catenária
Descubra a que altura fica um cabo suspenso em qualquer distância do seu ponto mais baixo: com parâmetro 10, a altura a 5 unidades do vértice é 11,27626. No vértice a altura é igual ao próprio parâmetro, e a curva é simétrica. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 10
- X
- 5
- Altura
- 11,27626
Uma catenária é a curva que uma corrente ou cabo perfeitamente flexível e uniforme assume quando pende sob o próprio peso entre dois apoios. Sua forma é um cosseno hiperbólico: y = a·cosh(x/a), onde a é o parâmetro da curva. Esta calculadora devolve a altura vertical da curva em qualquer posição horizontal x medida a partir do vértice, dado o parâmetro a.
Como funciona a fórmula da catenária
A catenária é a forma de equilíbrio de um cabo pendurado cujo peso se distribui uniformemente ao longo de seu comprimento. Escrita com o vértice na origem, sua equação é y = a·cosh(x/a), onde cosh é o cosseno hiperbólico e a é o parâmetro da curva, às vezes chamado de constante da catenária. O parâmetro a tem um significado físico direto: é a razão entre a tração horizontal no cabo e seu peso por unidade de comprimento, e equivale à altura do vértice acima da diretriz da curva.
Um a grande significa uma curva rasa e bem esticada; um a pequeno significa uma flecha profunda. Para encontrar a altura em um ponto, esta ferramenta divide a posição horizontal x por a, aplica o cosseno hiperbólico e multiplica novamente por a. Como cosh é uma função par, o resultado é simétrico: a altura em x e em menos x é idêntica.
Onde se usa a altura de uma catenária
A geometria da catenária aparece onde quer que um cabo, corrente ou linha flexível penda sob a gravidade. Engenheiros de estruturas a usam para estimar o perfil dos cabos principais de pontes pênseis antes que a carga do tabuleiro os achate em uma parábola, e para definir a flecha e a distância livre de linhas de energia aéreas, onde a altura em uma posição do vão determina a distância segura do solo, da vegetação e do tráfego.
O trabalho naval e offshore emprega a mesma curva para correntes de âncora e linhas de amarração, onde a altura ao longo do vão se relaciona com a tensão transmitida à âncora. Arquitetos encontram a catenária invertida em abóbadas e arcos, pois uma corrente pendurada invertida é a forma de compressão pura que Gaudí explorou; verificar a ordenada da curva em uma seção indica por onde a superfície do arco deve passar.
No ensino, a catenária é o contraexemplo padrão à intuição de que uma corda pendurada é uma parábola, por isso um avaliador numérico rápido é útil para lições e demonstrações. Em cada caso o fluxo é o mesmo: medir ou escolher o parâmetro a a partir da flecha e então avaliar a altura onde for necessário.
Casos de uso
Distância livre de linhas aéreas
Dado o parâmetro do cabo a partir da flecha de projeto, calcule a altura do condutor em qualquer posição do vão para verificar a distância do solo.
Correntes de amarração e âncora
Avalie a ordenada da catenária ao longo de uma linha de amarração para estimar a geometria e a separação do leito marinho ou do casco.
Perguntas frequentes
O que é o parâmetro a da curva?
É a constante da catenária: a tração horizontal dividida pelo peso por unidade de comprimento.
O x pode ser negativo?
Sim. cosh é uma função par, de modo que a altura em x e em -x é a mesma; o sinal apenas indica de que lado do vértice você está.
O resultado é determinístico?
Sim. É uma única avaliação de Math.cosh com um único arredondamento half-up, sem rede, aleatoriedade ou relógio, de modo que entradas idênticas produzem saídas idênticas byte a byte.
Uma corrente pendurada tem forma de parábola?
Não. Uma corrente ou um cabo pendurado pelo próprio peso forma uma catenária, uma curva de cosseno hiperbólico. Ela só se aproxima de uma parábola quando recebe uma carga distribuída ao longo dela, como o tabuleiro faz com os cabos de uma ponte pênsil.
Onde a catenária é usada na prática?
Em linhas elétricas aéreas, para conferir a altura do fio e a folga em relação ao solo; em correntes de âncora e amarração; nos cabos de pontes pênseis; e, invertida, em arcos e abóbadas como os de Gaudí.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/catenary-curve \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":10,"x":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/catenary-curve", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 10,
"x": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/catenary-curve",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 10,
"x": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/catenary-curve", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":10,"x":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":10,"x":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/catenary-curve", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 10,
"x": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.catenary_curve",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
As entradas são validadas antes de qualquer aritmética e cargas inválidas falham com um erro invalid_input em vez de produzir silenciosamente um número errado.
Como funciona a fórmula da catenária
Em x = 0 a altura é exatamente a, pois cosh(0) vale 1.
Entradas, validação e arredondamento
O campo x é a posição horizontal medida a partir do vértice e pode ser qualquer número finito, positivo, negativo ou zero. O campo opcional decimals controla o arredondamento da altura; o padrão é 6 e deve ser um inteiro entre 0 e 12. A resposta ecoa as duas entradas junto à altura calculada para que pipelines automatizados possam verificar qual requisição produziu qual resposta. A ferramenta aceita um pequeno objeto JSON com dois campos obrigatórios e um opcional. O campo a é o parâmetro da curva e deve ser um número finito estritamente maior que zero; zero, valores negativos, valores ausentes e cargas não numéricas geram um erro invalid_input antes de qualquer aritmética, porque uma catenária com parâmetro não positivo não tem sentido físico nem matemático neste modelo. O arredondamento é half-up, aplicado uma única vez sobre o resultado IEEE bruto, o que evita as clássicas surpresas de 0.1 + 0.2 que outros arredondamentos introduziriam quando as saídas são comparadas byte a byte entre máquinas. Trabalhos com falha retornam invalid_input e não são cobrados.
Casos de integração
Ensino e lição de casa
Contraste uma corrente pendurada com uma parábola avaliando y = a·cosh(x/a) nas seções escolhidas, com exemplos golden fixados.
Perguntas técnicas
Por que um a não positivo falha?
Uma catenária com parâmetro zero ou negativo não é uma forma de equilíbrio de cabo pendurado, portanto a entrada é rejeitada com invalid_input.
Quanto custa a API?
O widget do navegador é gratuito; a API começa em US$ 0,002 por chamada e trabalhos com falha não são cobrados.