Runge-Kutta-2-Rechner für Differentialgleichungen

Dieser Runge-Kutta-2-Rechner nähert ein Anfangswertproblem der Form y' = f(x,y) an. Geben Sie den Ableitungsausdruck, den bekannten Punkt x0 und y0, einen Endpunkt sowie eine feste Schrittzahl ein. Sie können die Mittelpunkt-, Heun- oder Ralston-Formel zweiter Ordnung verwenden. Das Ergebnis zeigt die einheitliche Schrittweite, beide Steigungen jedes Schritts, jedes gewichtete Inkrement und die abschließende Näherung, sodass das numerische Verfahren transparent und reproduzierbar bleibt.

Differentialgleichung und Intervall eingeben

Tragen Sie in das Gleichungsfeld nur die rechte Seite f(x,y) ein. Für y' = x + y geben Sie x + y ein. Der Ausdruck unterstützt Dezimalzahlen und wissenschaftliche Schreibweise, die Variablen x und y, die Konstanten pi und e, Klammern, Addition, Subtraktion, explizite Multiplikation, Division, Potenzen sowie die Funktionen exp, log, sin, cos und sqrt.

Schreiben Sie 2*x statt 2x und setzen Sie Funktionsargumente in Klammern. Der Wert darf über oder unter x0 liegen, daher ist sowohl Vorwärts- als auch Rückwärtsintegration möglich. Wählen Sie zuletzt die exakte Schrittzahl.

Der Rechner teilt das gesamte Intervall in entsprechend viele gleich große Abschnitte; er deutet die Zahl weder als Obergrenze noch passt er sie während der Lösung an. Ein fehlerhafter Ausdruck, ein nicht unterstützter Name, ein fehlender Zahlenwert oder eine Berechnung außerhalb des endlichen reellen Bereichs führt zu einem Eingabefehler und nicht zu einer teilweise verlässlichen Tabelle.

RK2-Formel auswählen und auswerten

Alle enthaltenen Verfahren sind explizite Runge-Kutta-Formeln zweiter Ordnung mit zwei Stufen. Zunächst berechnet der Löser k1 = f(x,y) am aktuellen Punkt. Anschließend verwendet er k1 zur Vorhersage einer Zwischenposition und bestimmt dort k2.

Das Mittelpunktverfahren legt diese Stufe in die Mitte des Schritts und nutzt k2 als endgültige Steigung. Das Heun-Verfahren sagt den Wert am Schrittende voraus und mittelt k1 mit k2; es heißt auch verbessertes Euler- oder explizites Trapezverfahren. Das Ralston-Verfahren setzt die Stufe bei zwei Dritteln des Schritts an und kombiniert ein Viertel von k1 mit drei Vierteln von k2.

Diese Wahl soll einen häufigen Koeffizienten des lokalen Fehlers verringern. Die Ausgabe nennt k1, k2 und das resultierende Inkrement für jeden akzeptierten Punkt. Addieren Sie das Inkrement zum vorherigen y-Wert, um den nächsten angezeigten Wert nachzuvollziehen.

Da sich die Stufenregeln unterscheiden, können zwei RK2-Varianten leicht abweichende Näherungen liefern, obwohl alle drei bei hinreichend glatten Problemen Konvergenz zweiter Ordnung besitzen.

Schrittweite und numerische Zuverlässigkeit beurteilen

Eine höhere Schrittzahl verkleinert daher den Betrag jedes Schritts. Bei einem glatten, nicht steifen Problem verringert ein Verfahren zweiter Ordnung den globalen Fehler meist ungefähr um den Faktor vier, wenn die Schrittweite halbiert wird und die Rechnung bereits im asymptotischen Bereich liegt. Als praktische Konvergenzprüfung lösen Sie das Problem einmal mit N und danach mit 2N Schritten und vergleichen die endgültigen y-Werte.

Übereinstimmung ist ein Hinweis auf Stabilität bei diesem Problem, aber kein strenger Fehlernachweis. Prüfen Sie auch die ausgegebenen Steigungen: plötzliches Wachstum, abwechselnd große Werte oder nicht endliche Arithmetik können auf eine Singularität im Intervall oder zu grobe Schritte hindeuten. Dieser Rechner arbeitet bewusst mit einer festen Anzahl und führt keine adaptive Fehlerkontrolle aus.

Er liefert zudem eine Näherung und keine symbolische Lösung. Steife Gleichungen, unstetige Ableitungen, lange Integrationen und sicherheitskritische wissenschaftliche Berechnungen sollten Sie mit einem passenden adaptiven Löser, Fachwissen und einer unabhängigen Fehleranalyse überprüfen.